Bestimmung zueinander orthogonaler Vektoren

17.10.2012, 15:16

Blaubier

Bestimmung zueinander orthogonaler Vektoren

Meine Frage:
Hallo Leute,

Also ich komme bei folgender Aufgabe zum Schluss nicht mehr weiter.
Die Aufgabenstellung lautet: Bestimmen sie alle Vektoren, die zu a und b orthogonal sind.

Vektor von a= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Vektor von b= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Soo, erst berechnet man für Vektor von a: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

= 1*x1+2*x2+5*x3 = 0
x1 + 2x2 + 5x3 = 0

Nun berechnet man das selbe für Vektor von b: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

= 4*x1+(-1)*x2+5*x3 = 0
4x1 + -x2 + 5x3 = 0

Nun besitzen wir zwei Gleichungen mit denen wir die Variablen berechnen können.
Folgendes Gleichungssystem gilt es in die Stufenform umzuwandeln.

I) x1 + 2x2 + 5x3 = 0 I *(-4); danach Additionsverfahren mit II)
II) 4x1 + -x2 + 5x3 = 0

(-4x1 - 8x2 - 20x3) + II)

I) x1 + 2x2 + 5x3 = 0
II) -10x2 - 15x3 = 0

Nun wählt man r = x3 und setzt dies in I) und II)

II) -10x2 - 15r = 0 I -15r
-10x2 = -15r I : (-10)
x2 = -1,5r

I) x1 + 2(-1,5r) + 5(r) = 0
x1 -3r + 5r = 0
x1 +2r = 0 I-2r
x1 = -2r

Somit haben wir $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2r \\ -1,5r \\ r \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Doch wie muss ich nun weiter vorgehen?? Kann mit bitte emand weiterhelfen? Bin dankbar für jede Antwort! Augenzwinkern

17.10.2012, 17:51

Bjoern1982

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Zitat:

II) -10x2 - 15x3 = 0

Prüfe diese Gleichung nochmal genau.

Ansonsten ist deine Vorgehensweise richtig.
Du kannst am Schluss das r noch aus dem Vektor ziehen.
Für alle r aus IR entstehen dann alle passenden Vektoren, die zu $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ senkrecht stehen.

17.10.2012, 19:14

Blaubier

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Hoppla, Flüchtigkeitsfehler..müsste natürlich heißen:

II) -10x2 - 15r = 0 I +15r
-10x2 = 15r I : (-10)
x2 = -1,5r

Mein Lösungsbuch hat folgendes als Ergebnis r $\begin{eqnarray*} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie kommt man auf dieses Ergebnis?

17.10.2012, 19:21

Bjoern1982

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Du hast dieselbe Gleichung nochmal hingeschrieben. Respekt

17.10.2012, 19:24

Blaubier

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Nicht direkt nur die +15 musste ich ändern, das Endergebnis bleibt gleich, weil ich mich beim ersten mal schon verrechnet habe.

Das ist ja nicht das Problem. Sondern wie man auf das Endergebnis kommt.

17.10.2012, 19:30

Bjoern1982

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Mehr als dass die Gleichung falsch ist, kann und werde ich nicht sagen.
Warum die Gleichung falsch ist, sieht man (welch Überraschung) einen Schritt vorher.

17.10.2012, 19:44

Blaubier

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II) -9x2 - 15r = 0 I +15r
-9x2 = 15r I : (-9)
x2 = - 15/9

17.10.2012, 19:49

Blaubier

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2r \\ -15/9 \\ r \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und Nun?

18.10.2012, 11:45

Blaubier

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Kann mir vielleicht sonst wer helfen bitte? Das ganze ist mir wichtig und meine eigentliche Frage hat sich noch immer nicht geklärt

18.10.2012, 12:35

Blaubier

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Selbstverständlich ändert sich auch demnach x1.

I) x1 + 2(x2) + 5(x3) = 0
x1 + 2(-15/9r) + 5(r) = 0
x1 - 3,3333r + 5r = 0
x1 + 1,6666r = 0 I - 1,6666r
x1 = - 1,6666r

Somit lautet das das Ergebnis $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1,6666r \\ -1,6666r, \\ r \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So und nun?

18.10.2012, 12:41

Bjoern1982

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Ich habe nicht mehr geantwortet, weil ich mich nur wiederholt hätte.
Statt dieser Kommazahlen würde ich empfehlen die exakten Brüche zu nehmen, denn nur so kommst du letztendlich auf deine Kontroll-Lösung.

18.10.2012, 12:43

chris_78

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Deine Lösung stimmt nun.
Als Lösung angegeben ist nur einer von unendlich vielen möglichen Vektoren

18.10.2012, 13:02

Blaubier

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Also das bedeutet das Lösungsbuch ist auf das Ergebnis gekommen, da es die Kooordinaten im Vektor mit "-3" multipliziert hat. Und das beudeutet ich könnte es mit ganz anderen Zahlen multiplizieren und es wäre richtig ?

18.10.2012, 14:06

chris_78

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Uups habe übersehen, dass im Lösungsbuch ja

$\begin{eqnarray*} r\begin{pmatrix}5 \\5 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
steht. Das wäre natürlich nicht nur ein bestimmter orthogonaler Vektor, sondern richtigerweise alle auf a und b orthogonalen Vektoren. Für r kannst Du ja jede beliebige reelle Zahl einsetzen.
Bei
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1,6666r \\ -1,6666r, \\ r \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
kannst Du auch das r aus dem Vektor ziehen und erhälst dann
$\begin{eqnarray*} r\begin{pmatrix} -1,6666 \\ -1,6666 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ was ebenso eine korrekte Lösung wäre.
Und ja Du könntest auch jedes andere Vielfache des Vektors angeben z.B.

$\begin{eqnarray*} r\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0,6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

18.10.2012, 14:50

Blaubier

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Alles Klar, vielen Dank hab's kapiert smile

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