Vektorgeometrie

17.10.2012, 16:00	Raggi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorgeometrie Meine Frage: Hallo alle zusammen, ich schreibe morgen nach einem Jahr pause mal wieder ne Klausur über Vektorrechnung und Gleichungssysteme. Ich bin in dem Thema Vektorrechnung noch nicht so 100% sicher. In meinem Mathebuch gibt es nach der Stoffeinheit immer so Test. Hab mir davon mal einen geschnappt und durchgerechnet. Nun seh ich mein Lehrer vorher nicht mehr und hab auch noch nen paar andere Fragen. Deswegen wollte ich mal Fragen ob hier bitte jemand einfach mal drüber schauen kann über meine Ergebnisse und Lösungswege? Falls Ungereimtheiten auffallen bitte drauf aufmerksam machen oder falls jemand nen leichteren Lösungsweg kennt bitte auch vorschlagen^^. 1) In einem Koordinatensystem sind die Punkte A(3/-1) B(2/3) und C(-3/4) gegeben. a) Berechnen sie den Umfang des Dreiecks Hab einfach einmal die Vektoren gebildet AB=(-1/4) BC=(-5/1) CA=(6/-5) Hab dann einfach die jeweiligen Beträge addiert und komme auf U=17.03LE b) Bestimmen sie die Größes des Innenwinkels Alpha Hab die Formel cos gama= $\begin{eqnarray} \frac{ab}{\|a\|\otimes \|b\|} \end{eqnarray}$ genommen. Die Werte hatte ich ja schon von oben. Hab dann allerdings den Winkel zwischen AB und BC berechnet^^ komm da dann auf 64.65°. Wenn das Ergebniss richtig ist kann ich ja auch die anderen Winkel mit gleicher Formel berechnen. c) Bestimmen sie die Koordinaten eines Punktes D, so das ABCD ein Parallelogramm ist. Bin davon ausgeganen dass: 0D=OA+BC. D ist bei mir dann D=(-2/0) 2)Gegeben seien dei Vektoren a= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ b= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ c= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ d= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ t \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ a) Bestimmen sie die Vektoren x=a-2b und y=2a-0.5b Hab mir die Werte genommen und in Taschenrechner eingegeben rausgekommen ist: x= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 \\ -13 \\ -9 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und y= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ b)Sind die Vektoren a und b kollinear Hab das glaub ich auf nen umständlichen Weg gelöst aber ich fand ihn hübsch^^. Hab zur Überprüfung gerechnet a=rb und b=ra. 1=r-2 -> r=-0.5 -1=r6 -> r=_ $\begin{eqnarray} \frac{1}{6} \end{eqnarray}$ 3=r6 -> r=2 -2=r1 -> r=-2 6=r(-1)-> r=-6 6=r3 -> r=2 Sind also nich Kollinear oder? Darf ich das den so rechnen^^? c) Für welchen Wert t sind b und d kollinear Hab das selbe Prinzip genommen wie bei b) -2=r1 -> r=-2 6=rt -> r= 6/t Hab durch hinschauen gesehen das t=-3. Wie rechnen? 6=r(-3)-> r=-2 d) Bestimmen sie einen Einheitsvektor der kollinear zu a ist. Die Aufgabe hat mich verwirrt. Hab das mal gegoogelt. Da stand das die LE von a 1 Betragen muss. Und der Betrag des Vektors durch a auch 1 sein soll. Hab das dann so gelöst: $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{1²+(-1)²+3²} }{\sqrt{11} } \end{eqnarray}$ Ist bestimmt falsch. Wäre supi wenn mir da nochmal jemand helfen könnte. e) Welchen Winkel schließen a und b ein? Hab ich gelöst wie die Winkelaufgabe oben. Ergebnis ist : 69.76° f) Für welchen Wert t schließen c und d ein Winkel von 45° ein? Die Aufgabe wollte sich nicht lösen lassen. Hab die Formel fürn Winkel genommen und aufgeschrieben. Kommt bei mir das raus: $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{2} }{2} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{1+t}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{10+t²} } \end{eqnarray}$ Bekomm ich nich aufgelöst. Hab mir dann gedacht machste mal Kreuprodukt der beiden Vektoren. Da kam dann raus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da wo vorher das t stand war nun ne 3. Damit kommt man auch sehr nah an 45°. Reicht da als Antwort ~3? 3) Lass ich mal weg da bin ich mir ziemlich sicher das ich das richtig hab. 4.) Untersuchen sie ob die Vektoren a (1/-1/3) b (-2/4/6) und c (-3/0/9) linear abhängig oder unabhängig sind. Bemerkung: Das mit Abhängigkeit etc. kann ich net. Bin ich einfach nich fähig zu. Gibts da evtl. nen Tipp wie man sowas ganz leicht überprüfen kann? Ich möchte euch mein Gleichungsystem in dem Falle ersparen. Gleichungssysteme kann ich eigentlich aber wenn hinten =0 steht, was ja irgendwie die Bedingung für Lineare Abhängigkeit ist komm ich immer irgendwie auf 0 auch wenn das Gegenteil rauskommen soll. Hab auch die Diskriminante berechnet. Da sind 2 verschiedene Werte rausgekommen aber beide X>0. 5) Bilden sie einen Vektor c der zu a(3/4/1) und b (2/-2/1) orthogonal ist. Hab hier einfach das Vektorprodukt genommen, dass bildet ja einen Vektor der senkrecht auf den beiden steht. Meine Ideen: Meine Ideen und Lösungen stehen ja schon da. Bei mir sind halt nur noch die Fragen offen. Sind meine Rechungen soweit richtig? Nur mal kurz überfliegen bitte wäre sehr nett. Linear Abhängig/Unabhängig - Wie kann man das leichter Beweisen? Einheitsvektor - Wie geht das? Wie berechnet man t für einen Vektor um dann einen bestimmten Winkel zu erhalten wie in 2-f) MfG Raggi. PS: Ich vertief mich mal noch in den Vektoren-Guide in diesem Forum^^
17.10.2012, 21:51	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du darfst raten, weshalb du noch keine Antwort in deinem Thema bekommen hast. Stelle bitte NICHT 5 Beispiele hintereinander, sondern nur EINE Aufgabe pro Thread und dazu gezielte Fragen, ansonsten wird der Thread zu unübersichtlich! Ausserdem wähle bitte einen Titel, der den Inhalt des Themas kennzeichnet, "Vortest zur Klausur" ist dazu denkbar ungeeignet! Also wurde der Thementitel geändert. Wenn du bis zum morgigen Test das alles schon durchgemacht haben willst, ist es erst heute dazu reichlich spät. Nur so viel: 5. ist richtig 1. offensichtlich auch Den Einheitsvektor, respektive normierten Vektor, bekommst du, wenn du den Vektor durch seine Länge (den Betrag) dividierst (--> Normierung, Norm). Also werden alle seine Komponenten mit dem Kehrwert des Betrages multipliziert. (4; 8; 1) --> (1/9) * (4; 8; 1) = .... mY+

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