Divergenz einer Folge zeigen

17.10.2012, 20:55

p99p5

Divergenz einer Folge zeigen

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe:

Zitat:

Es sei:
$\begin{eqnarray*} (a_{n}) = \frac{n^{2}+1}{n} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} a_{n}\to \infty (n \to \infty ) \end{eqnarray*}$

Eine weitere Aufgabenstellung existiert nicht. So wie ich das ganze interpretiere, soll ich zeigen, dass die Folge gegen unendlich divergiert. Leider haben wir ein solches Beispiel nie in der Vorlesung behandelt. Die Beispielaufgaben sind immer gegen 0 konvergiert.

Wie gehe ich also hier vor? Bei konvergenten Folgen konnte ich $\begin{eqnarray*} a_{n} - g \end{eqnarray*}$ rechnen.

Nach meiner Logik wäre folgendes der Ansatz:
$\begin{eqnarray*} a_{n} - \infty = a_{n} = a_{n} > \epsilon \end{eqnarray*}$

Über einen Denkanstoß würde ich mich sehr freuen!

Danke!

17.10.2012, 21:18

Causal

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RE: Divergenz einer Folge zeigen
Hi,

finde doch eine Minorante zu deiner Folge smile

Weißt du, was eine Minorante ist?

Gruß, Causal

17.10.2012, 21:32

p99p5

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Der Ausdruck selber hat mir nichts gesagt.
Aber nach einer kurzen Google-Suche: Ich soll den Bruch zerlegen und anschließend feststellen, welche Folge konvergiert.

Quasi:

$\begin{eqnarray*} (a_{n}) = \frac{n^{2}}{n} + \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert und somit "wegfällt" ist mir bewusst. Das $\begin{eqnarray*} \frac{n^{2}}{n} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ divergiert ebenfalls.

An dem Verständnis des Ausdruckes scheitert es nicht, sondern eher an der mathematischen Beweisführung.

Edit: Ich würde es halt gerne auf die selbe Art und Weise zeigen/ beweisen, wie bei Nullfolgen. Eine andere Methode haben wir noch nicht kennengelernt.

17.10.2012, 21:41

Causal

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Dein Ansatz ist ok, probiers mal hiermit:

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2 + 1}{n} = n + \frac{1}{n} \geq ... \end{eqnarray*}$

Du kannst jetzt nach unten abschätzen und eine geeignete Folge finden. Damit zeigst, dass deine eigentliche Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ divergent ist.

Gruß, Causal

17.10.2012, 22:11

p99p5

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So?

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2 + 1}{n} = n + \frac{1}{n} \geq n = 2n \geq \frac{1}{n} = n \geq \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$

17.10.2012, 23:05

Euler23

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ich würds einfach so machen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n^2+1}{n} =\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{n}{n}} = \infty \end{eqnarray*}$
mfg

17.10.2012, 23:15

Causal

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Nein p99p5

$\begin{eqnarray*} n + \frac{1}{n} \geq n \end{eqnarray*}$

Jetzt weißt du, dass $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \to \infty} n = \infty \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet deine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ ist divergent.
Man kann auch so argumentieren. Angenommen $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ wäre konvergent, dann müsste die Folge $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auch konvergent sein, da $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine obere Schranke wäre. Das ist ein Widerspruch.

Gruß, Causal

17.10.2012, 23:20

Iorek

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Zitat:

Original von Causal
Jetzt weißt du, dass $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \to \infty} n = \infty \end{eqnarray*}$ .

Das ist so nicht gesagt, gefühlt stimmt das zwar, müsste aber auch nachgewiesen werden. Wie wurde die (bestimmte) Divergenz denn definiert? Das lässt sich hier ganz elementar über die Definition nachweisen.

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