Doppelter Betrag ||x-5|-3|<=4

17.10.2012, 23:44	oschili	Auf diesen Beitrag antworten »
Doppelter Betrag \|\|x-5\|-3\|<=4 Hallo liebe Community, Ich habe ein Problem mit folgender Ungleichung: $\begin{eqnarray} \|\|x-5\|-3\|<=4 \end{eqnarray}$ In meiner Betrachtung habe ich zwischen 4 Fällen unterschieden. Wenn ich das allerdings ausrechne, fehlt mir die linke Intervallgrenze. Diese ist vorhanden , habe ich auf Wolframalpha geprüft. Nun ist die Frage, was ich falsch gemacht habe !! 1. Fall $\begin{eqnarray} x-5 > 0 und x-3 > 0 und ((x-5)-3)<=4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L=\left\{x:5<x<12\right\} \end{eqnarray}$ 2. Fall $\begin{eqnarray} x-5 <0 und x-3 < 0 und -(-(x-5)-3)<=4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L=\left\{ x:x<3\right\} <br /> \end{eqnarray}$ 3. Fall $\begin{eqnarray} x-5 < 0 und x-3 > 0 und (-(x-5)-3)<=4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L=\left\{x:3<x<5\right\} \end{eqnarray}$ 4. Fall $\begin{eqnarray} x-5 >0 und x-3 < 0 und -((x-5)-3)<= 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L=\left\{\right\} \end{eqnarray}$ Hab ich bei der Fallunterscheidung schon einen Fehler gemacht, bin mir mit diesem doppelten Betrag auch überhaupt nicht sicher?
18.10.2012, 04:42	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich würde die Fallunterscheidung anders machen. 1. Fall: Die Ausdrücke in beiden Betragsstrichen sind positiv. $\begin{eqnarray} x-5 \geq 0 \Rightarrow x \geq 5 \end{eqnarray}$ Es steht dann da als Gleichung: $\begin{eqnarray} \|x-5-3\| \leq 4 \Rightarrow \|x-8\| \leq 4 \end{eqnarray}$ Eine weitere Fallunterscheidung im ersten Fall: $\begin{eqnarray} x \geq 8 \Rightarrow x-8 \leq 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = x \leq 12 \end{eqnarray}$ Lösungsmenge für den 1. Fall wäre dann: $\begin{eqnarray} L_1=[8,12] \end{eqnarray}$ Auf die gleiche Weise würde ich die anderen drei Fälle bearbeiten. 2. Fall: Ausdruck im inneren Betragsstrich positiv, Ausdruck im äußeren Betragsstrich negativ. $\begin{eqnarray} x-5 \geq 0 \Rightarrow x \geq 5 \end{eqnarray}$ Es steht dann da als Gleichung: $\begin{eqnarray} \|x-5-3\| \leq 4 \Rightarrow \|x-8\| \leq 4 \end{eqnarray}$ Eine weitere Fallunterscheidung im zweiten Fall: $\begin{eqnarray} x \leq 8 \Rightarrow -x+8 \leq 4 \end{eqnarray}$ Diese Gleichung lösen. Die Lösung dann mit der Definitionsmenge $\begin{eqnarray} x \leq 8 \ \ \text{und} \ \ x \geq 5 \end{eqnarray}$ abgleichen und somit die Lösungsmenge für den 2. Fall bestimmen. 3. und 4. Fall funktionieren ähnlich. Mit freundlichen Grüßen.
18.10.2012, 09:05	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich kann man es sich viel einfacher machen: Für $\begin{eqnarray} b\geq 0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \|z-a\| \leq b \quad\Leftrightarrow\quad a-b \leq z \leq a+b \qquad () \end{eqnarray}$ , im vorliegenden Fall bekommt man demnach in der ersten Stufe $\begin{eqnarray} -1 \leq \|x-5\| \leq 7 \end{eqnarray}$ . Die linke Teilungleichung kann man komplett vergessen, da $\begin{eqnarray} \|x-5\| \end{eqnarray}$ als Betrag eh nichtnegativ ist, also ist das gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray} \|x-5\| \leq 7 \end{eqnarray}$ . Und wiederum greift () und ergibt $\begin{eqnarray} -2\leq x\leq 12 \end{eqnarray}$ . EDIT: Interessanterweise warst du es ja, oschili, der diese Anfrage hier gestellt hatte, damit sollte dir (*) eigentlich bekannt sein.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »