ALLE Fälle für die gilt AxB=BxA?

18.10.2012, 12:13	Kubio	Auf diesen Beitrag antworten »
ALLE Fälle für die gilt AxB=BxA? Meine Frage: Hallo, seien A und B beliebige Mengen. Nun möchte ich ALLE Fälle diskutieren, in denen $\begin{eqnarray} A\times B=B \times A \end{eqnarray}$ ist. Meine Ideen: Das Problem liegt bei alle: angenommen, ich habe die Mengen $\begin{eqnarray} A=\{1,2\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B=\{3,4\} \end{eqnarray}$ . Dann ist das Kreuzprodukt nach Definition die Menge der geordneten Paare: also $\begin{eqnarray} A \times B = \{(1,3),(1,4), (2,3), (2,4)\} \end{eqnarray}$ Das kann ich natürlich für beliebige A und B so fortführen. Aber mir scheint das irgendwie zu einfach. Gibt es es noch andere Fälle, die ich übersehen habe? Oder wird das irgendwie komplizierter? Danke
18.10.2012, 12:21	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ALLE Fälle für die gilt AxB=BxA? $\begin{eqnarray} A \times B = B \times A \Leftrightarrow A=B \end{eqnarray}$ Eigentlich ganz einfach.....
18.10.2012, 17:25	Kubio	Auf diesen Beitrag antworten »
Also mir ist klar, dass $\begin{eqnarray} A \times B = B \times A \end{eqnarray}$ genau dann gilt, wenn die beiden Mengen gleich sind. Das Kreuzprodukt ist ja die Menge der geordneten Paare. Also muss das ja so sein. Wäre dies z.B. auch erfüllt, wenn die beiden Mengen bis auf Umordnung gleich sind? Also z.B. $\begin{eqnarray} A1=\{1,2\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B1 = \{2,1\} \end{eqnarray}$ Dann wären die beiden Mengen ja nicht gleich Oder $\begin{eqnarray} A2=\{1,1,2\} \end{eqnarray}$ , wäre auch eine Menge die ich mir denken könnte. Also würde dies gelten für alle Mengen A, B, die bis auf Umordnung und "Streichung" doppelter Elemente dieselben Elemente enthalten. Wenn ich das richtig weiß sind aber nach Definition die Mengen A1, B1 und A2 dieselben, sodass das genau auf obige Aussage herausläuft, richtig?
18.10.2012, 17:30	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich empfehle Dir, noch einmal die Definition einer Menge nachzulesen. Die drei von dir unterschiedenen Mengen sind nämlich identisch.
18.10.2012, 18:48	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
Kubio ja, die Mengen A1, A2 und B1 sind identisch, da man innerhalb von Mengen umordnen darf. Es genügt zudem ein Element das z.b. doppelt vorkommt, nur einmal zu nennen.) Und damit glit nur die obige Gleichung des Kreuzproduktes nur wenn die beiden Mengen gleich sind und in keinem anderen Fall, richtig? Vielen Dank

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