Beispiel für eine unendlich oft stetig partiell diffbare Funktion?

18.10.2012, 15:00	mimip91	Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiel für eine unendlich oft stetig partiell diffbare Funktion? Meine Frage: Hallo! Ich habe in Funktionentheorie zur Zeit folgende Aufgabe: Gegeben: $\begin{eqnarray} U \subset \mathbf{C} \end{eqnarray}$ offen und $\begin{eqnarray} f: U \rightarrow \mathbf{C} \end{eqnarray}$ holomorph. Frage: Geben sie eine unendlich oft stetig partiell differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray} \quad C \rightarrow \quad R \end{eqnarray}$ an, die nicht Realteil einer holomorphen Funktion ist. Also eine Funktion bei der nicht $\begin{eqnarray} z\qquad\mapsto Re(f(z)) \end{eqnarray}$ gilt. Meine Ideen: Ich hatte schonmal an die Betragsfunktion gedacht aber ich habe eigentlich nicht wirklich ne Ahnung, ob das geht.
20.10.2012, 00:47	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Betragsfunktion ist schonmal sehr gut. Aber diese ist nicht unendlich of stetig differenzierbar in 0 (überleg dir das!). Versuchs deshalb lieber mit der Betragsfunktion im Quadrat: $\begin{eqnarray} z = x+iy\mapsto x^2 + y^2 \end{eqnarray}$ . Gruss
20.10.2012, 13:24	mimip91	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt, danke. So gehts. Dann ist die Funktion $\begin{eqnarray} x^2+y^2 \end{eqnarray}$ unendlich oft stetig partiell diffbar als Polynom oder?
20.10.2012, 16:49	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Du kannst die partiellen Ableitungen sogar ganz explizit angeben in diesem Fall (die meisten sind 0). Beachte, dass die crux eher darin liegt, zu zeigen, dass diese Funktion tatsächlich nicht der Realteil einer holomorphen Funktion sein kann.

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