schwieriges Integral

18.10.2012, 17:54

Feete

schwieriges Integral

Hallo ihr Lieben, ich benötige eure Hilfe für zwei Integrale.

Folgende Aufgabe wurde mir gestellt:

Integrieren SIe die Funktionen:

$\begin{eqnarray*} \int_\infty ^\infty \! x^{2}\cdot e^{-ax^{2} } \, dx \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int_\infty ^\infty \! x^{4}\cdot e^{-ax^{2} } \, dx \end{eqnarray*}$

(Die Grenze gehen bei allen Integralen von - unendlich bis +unendlich. Ich weiss nur leider nicht wie ich die untere Grenze im Latex mit - unendlich versehen kann)

Hinweise: Das erste Integral lässt sich mit folgendem "Trick lösen"

$\begin{eqnarray*} I\equiv \int_\infty ^\infty \! e^{-ax^{2} } \, dx =\sqrt{\frac{x}{a} } \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \int_\infty ^\infty \! x^{2}\cdot e^{-ax^{2} } \, dx = - \frac{d}{da}I \end{eqnarray*}$

nun verstehe ich den Tipp aber schon nicht ganz richtig.
Wenn ich I in das Integral oben einsetze müsste ich ein Integral habe das $\begin{eqnarray*} x^2 \cdot I dx \end{eqnarray*}$ in den Grenzen von - unendlich bis + unendlich integriert.
Oder stehe ich jetzt völlig auf dem Schlauch?

Für Anmerkungen bin ich sehr dankbar

LG

18.10.2012, 18:04

Leopold

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Zunächst müßte es wohl $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{\pi}{a}} \end{eqnarray*}$ heißen. Und dann fordert dich der Hinweis auf, die Funktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} F(a) = \int_{- \infty}^{\infty} \operatorname{e}^{-ax^2} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

zu differenzieren (am besten gleich zweimal). Schau einmal in deinen Unterlagen, wie man solche "Parameterintegrale" differenziert. Liegen die Voraussetzungen vor?

18.10.2012, 18:22

Feete

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bei dem $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ hast du natürlich recht.
An und für sich müsste doch $\begin{eqnarray*} F^{I}(x)= e^{-ax^{2} } \end{eqnarray*}$ sein.
nun müsste ich noch $\begin{eqnarray*} F^{II}(x) \end{eqnarray*}$ berechnen!?
Das wäre dann doch einfach $\begin{eqnarray*} F^{II}(x)= -2ax \cdot e^{-ax^{2} } \end{eqnarray*}$
oder bin ich da in die falsche Richtung unterwegs?

18.10.2012, 18:33

Leopold

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Zitat:

Original von Feete
oder bin ich da in die falsche Richtung unterwegs?

Wenn du über $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ integrierst, so ist das Ergebnis von $\begin{eqnarray*} \color{red} x \end{eqnarray*}$ unabhängig. Es hängt daher nur noch von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ab, was bezüglich der Integration nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die Rolle eines Parameters spielt. Und nicht umsonst habe ich $\begin{eqnarray*} F(a) \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ geschrieben. Um $\begin{eqnarray*} F'(a) \end{eqnarray*}$ zu berechnen, mußt du daher "unter dem Integralzeichen differenzieren", wie man dazu sagt. Und wie das geht, steht sicher in deinen Unterlagen. Ich kann mir kaum vorstellen, daß eine solche Aufgabe gestellt würde, wenn nicht in der Vorlesung Parameterintegrale behandelt worden wären.

18.10.2012, 18:35

Feete

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Ich buddel mal eben ein wenig! Die Aufgabe ist aus Theoretischer Physik 3. Theoretische Physik 2 ist bei mir schon 3 Jahre her!

18.10.2012, 19:40

Feete

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Mal schauen ob ich es jetzt habe.
Nach dem Tipp gilt:

$\begin{eqnarray*} I = \int_{- \infty}^{\infty} e ^{-ax^{2}}dx= \sqrt{\frac{\pi}{a} } \end{eqnarray*}$
weiter gilt:

$\begin{eqnarray*} - \frac {d}{da}I = - \frac {d}{da} \int_{-\infty}^{\infty} e ^{-ax^{2}}dx = - \int_{- \infty}^{\infty} \frac{\partial}{\partial a} e ^{-ax^{2}}dx = - \int_{- \infty}^{\infty} -x^{2} \cdot e ^{-ax^{2}} dx = \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} \cdot e ^{-ax^{2}}dx \end{eqnarray*}$

Das heißt:

$\begin{eqnarray*} \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} \cdot e ^{-ax^{2}}dx = - \frac {d}{da}I = - \frac {d}{da} \sqrt{\frac{\pi}{a} } = - \frac {d}{da} \pi^{\frac{1}{2}} \cdot a^{-\frac {1}{2}} = - \frac{1}{2}\cdot\pi^{\frac{1}{2}}\cdot a^{-\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

Der letzte Part sollte dann das gesuchte Integral sein!

18.10.2012, 19:51

Leopold

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Ganz zum Schluß noch ein Vorzeichenfehler. Sonst stimmt es.

18.10.2012, 20:12

Feete

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Ah ja! Sehr schön Vielen Dank.
Hast du noch einen Tipp zur Veränderung des gegebenen Tipps für das zweite Integral?
Ich zitiere: Für das zweite Integral müssen Sie den Trick etwas erweitern.

18.10.2012, 20:37

Leopold

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Das klingt so geheimnisvoll. Ich würde einfach noch einmal unterm Integral differenzieren.

18.10.2012, 21:01

Feete

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das klingt doch super! Ich versuche das morgen gleich mal. Allerdings glaube ich muss man auch mit dem Vorzeichen noch etwas rumdoktorn. Ich stelle das dann mal morgen rein damit der threat hier vollständig ist.

VIELEN DANK an dich Big Laugh

19.10.2012, 17:21

Feete

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an und für sich sollte dann folgende rechnung das zweite integral lösen.

mit $\begin{eqnarray*} I = \int_{- \infty}^{\infty} e ^{-ax^{2}}dx= \sqrt{\frac{\pi}{a} } \end{eqnarray*}$

gilt:
$\begin{eqnarray*} \frac {d^{2}}{da^{2}}I = \frac {d^{2}}{da^{2}} \int_{-\infty}^{\infty} e ^{-ax^{2}}dx = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{\partial^{2}}{\partial a^{2}} e ^{-ax^{2}}dx = \int_{- \infty}^{\infty} x^{4} \cdot e ^{-ax^{2}} dx \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \int_{- \infty}^{\infty} x^{4} \cdot e ^{-ax^{2}} dx = \frac {d^{2}}{da^{2}}I = \frac {d^{2}}{da^{2}} \sqrt{\frac{\pi}{a} } = \frac{3}{4}\cdot\pi^{\frac{1}{2}}\cdot a^{-\frac{5}{2}} \end{eqnarray*}$

Sollte jetzt so stimmen. VIELEN LIBEN DANK nochmal an dich.

19.10.2012, 17:52

Leopold

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Na bestens!

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