Existenz des uneigentlichen Integrals von (sin x)/x

18.10.2012, 19:07

felix1988

Existenz des uneigentlichen Integrals von (sin x)/x

Guten Abend,
Es geht um die Existenz des uneigentlichen Integral $\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \! \frac{\sin(x)}{x} \, dx \end{eqnarray*}$
Das diese existiert ist mir klar, allerdings verstehe ich einen Schritt noch nicht ganz.
Nach partieller Integration ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} \left[\frac{-\cos(x)}{x} \right]_{1}^{\infty } - \int_1^\infty \frac{ \! \cos(x)}{x^{2} } \, dx \end{eqnarray*}$
Und da $\begin{eqnarray*} |\cos(x)| \leq 1 \end{eqnarray*}$ folgt daraus:
$\begin{eqnarray*} |\int_1^\infty \frac{\! \sin(x)}{x} \, dx | \leq \frac{1}{1} + \frac{1}{\infty }+ \int_1^\infty \! \frac{1}{x^{2} } \, dx \end{eqnarray*}$
(ich bitte die Schreibweise zu verzeihen, aber sonst wird mein Problem vlt. nicht ganz klar)
Mein Ergebnis würde sich nämlich darauf belaufen, dass:
$\begin{eqnarray*} |\int_1^\infty \frac{\! \sin(x)}{x} \, dx | \leq \frac{1}{1} - \frac{1}{\infty }- \int_1^\infty \! \frac{1}{x^{2} } \, dx \end{eqnarray*}$
Sodass mein Grenzwert 0 ergibt. Die beiden + anstelle von - kann ich nicht nachvollziehen, da dieser Schritt in keinem Beweise näher erläutert wird.
Ich würde mich sehr über eine Anregung freuen und hoffe, mein Problem halbwegs verständlich und mit wenigen Fehlern präsentiert zu haben.
Mit freundlichen Grüßen
Felix

20.10.2012, 02:59

sergej88

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RE: Existenz des uneigentlichen Integrals von (sin x)/x
Hallo Felix,

ich fange mal mit deinem Vorschlag an.

Zitat:

Original von felix1988
Mein Ergebnis würde sich nämlich darauf belaufen, dass:
$\begin{eqnarray*} |\int_1^\infty \frac{\! \sin(x)}{x} \, dx | \leq \frac{1}{1} - \frac{1}{\infty }- \int_1^\infty \! \frac{1}{x^{2} } \, dx \end{eqnarray*}$

Diese Abschätzung kannst du nicht machen. Aussedem ist wohl kaum
$\begin{eqnarray*} \underset{x \to \infty}{\lim}\ \frac{\cos(x)}{x} = \frac{1}{\infty} \end{eqnarray*}$
Genauer stört dass der Kosinus einfach verschwindet. Wichtig ist, dass dieser beschränkt bleibt, denn dann ist obiger Grenzwert Null.
Jetzt zum Lösungsvorschlag.

$\begin{eqnarray*} <br /> \left| \left( - \frac{\cos(x)}{x}\right)^{\infty}_{1} - \int \limits_{1}^{\infty}\frac{\cos(x)}{x}dx \right| \leq \underset{x \to \infty}{\lim} \frac{\cos(x)}{x} + \frac{\cos(1)}{1} + \int \limits_{1}^{\infty}\frac{1}{x^2}dx = \cos(1) + \int \limits_{1}^{\infty}\frac{1}{x^2}dx<br /> \end{eqnarray*}$

mfg

20.10.2012, 14:11

felix1988

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RE: Existenz des uneigentlichen Integrals von (sin x)/x
$\begin{eqnarray*} \underset{x \to \infty}{\lim}\ \frac{\cos(x)}{x} = \frac{1}{\infty} \end{eqnarray*}$
Ok das sehe ich ein. Trotzdem verstehe ich deinen Lösungsvorschlag nicht ganz.
Erstmal basiert die Abschätzung auf dem Satz, dass wenn $\begin{eqnarray*} |f(x)| \leq g(x) \end{eqnarray*}$ und g(x) integrierbar ist, auch f(x) integrierbar ist.
Vlt. kannst du den Gedanken dahinter nochmal etwas genauer erläutern. Das könnte mir wirklich helfen.
MfG und vielen Dank für die Antwort
Felix

20.10.2012, 14:36

RavenOnJ

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Sergej hat im Integral ganz links eine Potenz 2 vergessen. Ein Betrag einer Summe von positiven und negativen Termen ist auf alle kleiner als die Summe der Beträge der Terme. Das rechte Integral majorisiert das linke:
$\begin{eqnarray*} \int_1^\infty{\frac{\cos x}{x^2}dx} \leq\int_1^\infty{\frac{1}{x^2}dx} \end{eqnarray*}$

Gruß
Peter

20.10.2012, 18:01

felix1988

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Ah ok, so langsam hab ichs glaube ich, ich könnte also auch ein anderes Integral finden, welches "konvergent" und größer ist. Das hier verwendete bietet sich einfach an weil man durch verändern der vorzeichen schnell auf eine Majorante kommt. Is das so in etwa richtig?
Gruß und vielen Dank
Felix

20.10.2012, 18:49

RavenOnJ

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ja, das ist in etwa richtig. Es kam dir ja nur auf den Existenzbeweis an.

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