Summierung von Dreieckszahlen

18.10.2012, 20:11

Dreieckszahlen

Summierung von Dreieckszahlen

Hallo.

Dass die n-te Dreieckszahl sich als Summe der natürlichen Zahlen bis n ergibt habe ich verstanden. (Also [n * (n+1)] / 2 )

Und durch rumrechnen und Testen bin ich zu dem Schluss gekommen, dass sich eine n-te Tetraederzahl aus der Summe der ersten n Dreieckszahlen ergibt.

Das müsste dann sein

[(n*(n+1))/2] + [((n-1)*(n-1+1))/2] + [((n-2)*(n-2+1))/2] + ... + 1 (denn die letzte Dreieckszahl ist ja die eins).

Ja. Da komme ich aber irgendwie nicht mehr weiter auf die bereits erwiesene Form:

[n*(n+1)*(n+2) ] / 6]

Geometrisch betrachtet (als zusammensetzung von 6 tetraedern zu einem quader mit entsprechenden seitenlängen) verstehe ich die Formel. Nach obiger Methode aber nicht..

19.10.2012, 15:13

Abakus

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RE: Summierung von Dreieckszahlen

Zitat:

Original von Dreieckszahlen
Das müsste dann sein

[(n*(n+1))/2] + [((n-1)*(n-1+1))/2] + [((n-2)*(n-2+1))/2] + ... + 1 (denn die letzte Dreieckszahl ist ja die eins).

Hallo,

also anders geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \frac 12 \cdot \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) \end{eqnarray*}$

Jetzt brauchst du die Formel für die Summe von Quadratzahlen.

Abakus smile

21.10.2012, 10:30

Dreieckszahlen

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Hallo Abakus und vielen Dank.

Die Summe der Quadratzahlen lässt sich schreiben als:

1/6 * [n*(n+1)*(2n+1)]

anschließend würde noch addiert werden "k":

1/6 * [n*(n+1)*(2n+1)] + n

und das Ganze dann multipliziert mit 1/2.

Allerdings ist das Ergebnis für meine Tetraederzahlen falsch, wenn ich für n beispielsweise mal 3 einsetze. Also scheine ich einen Fehler gemacht zu haben.. verwirrt

21.10.2012, 10:58

Mystic

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Zitat:

Original von Dreieckszahlen
anschließend würde noch addiert werden "k":

1/6 * [n*(n+1)*(2n+1)] + n

und das Ganze dann multipliziert mit 1/2.

Obiges wäre richtig, wenn es um die Summe

$\begin{eqnarray*} \frac 12 \cdot \sum_{k=1}^n (k^2+1) \end{eqnarray*}$

ginge, das ist aber nicht der Fall...

21.10.2012, 11:10

Dreieckszahlen

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Oh, Fehler Fehler.. Danke smile

Dann sollte es so lauten:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} * ( \frac {n*(n+1)*(2n+1)}{6} + \frac {n*(n+1)}{2}) \end{eqnarray*}$

Was ich eben auf einem Schmierpapier versucht habe zu vereinfachen. Allerdings komme ich nicht auf die schöne, offizielle Formel (1/6 * (n*(n+1)*(n+2))

verwirrt

21.10.2012, 11:18

Mystic

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Zitat:

Original von Dreieckszahlen
Allerdings komme ich nicht auf die schöne, offizielle Formel (1/6 * (n*(n+1)*(n+2))

Ich schon, und das im Kopf... Augenzwinkern

Ich hoffe, du hast hier nicht blind ausmultipliziert, sondern n(n+1)/4 herausgehoben... Rechne das damit mal vor...

21.10.2012, 13:23

IchNochmal

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Zitat:

Original von Mystic

Zitat:

Original von Dreieckszahlen
Allerdings komme ich nicht auf die schöne, offizielle Formel (1/6 * (n*(n+1)*(n+2))

Ich schon, und das im Kopf... Augenzwinkern

Ich hoffe, du hast hier nicht blind ausmultipliziert, sondern n(n+1)/4 herausgehoben... Rechne das damit mal vor...

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} * ( \frac {n*(n+1)*(2n+1)}{6} + \frac {n*(n+1)}{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} * \frac{n*(n+1)*(2n+1)}{4} + \frac{n*(n+1)}{4} \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich aber nicht was du mit herausheben meinst. Um ehrlich zu sein habe ich nämlich tatsächlich "blind" ausmultipliziert:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n^2+n)*(2n+1) + n^2 + n)}{4} * \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(n^2+n)*(2n+1) + n^2 + n)}{4} * \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2n^3 +4n^2 + 2n}{4} * \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Ja.. da bin ich. Und im nächsten Schritt steht im Zähler dann noch

n*(n^2 + 2n^2 + 1)

verwirrt

21.10.2012, 13:30

Mystic

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Zitat:

Original von IchNochmal

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} * \frac{n*(n+1)*(2n+1)}{4} + \frac{n*(n+1)}{4} \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich aber nicht was du mit herausheben meinst. Um ehrlich zu sein habe ich nämlich tatsächlich "blind" ausmultipliziert[...]

Hm, das verblüfft mich aber jetzt schon ein bißchen, denn immerhin sind wir hier im Bereich Hochschulmathematik... unglücklich

Der nächste Schritt wäre

$\begin{eqnarray*} \frac {n(n+1)}4 \left( \frac{2n+1}3 +1 \right) \end{eqnarray*}$

und dann muss man nur noch den Klammerausdruck vereinfachen...

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