Abschätzung p-Norm

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Abschätzung p-Norm
Meine Frage:
Zeigen Sie die Abschätzung

,

für ein , woraus sich die Inklusion

ergibt.


Hinweis: Verwenden Sie ohne Beweis die Abschätzung für .

Meine Ideen:
Ich komme damit nicht zurecht.

Wie zeigt man das?




Mir fehlt eine Idee.-


Vielleicht beginnt man irgendwie mit



________________________________________________________________________

Ich denke, man macht es so:

Zeige die äquivalente Aussage .




________________________________________________________________________


?


Ich weiß nämlich nicht so recht, wie man das beweisen könnte und mir ist nur aufgefallen, dass nach der Ausgangsaussage dieses Threads gilt, dass

für .


Aber was das nun nützen könnte für den Beweis, weiß ich nicht.
Ich suche nach einem Ansatz für den Beweis.

________________________________________________________________________

edit von sulo: Tripelpost zusammengefügt.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ursprungsaufgabe hast du ja gelöst Freude

Jetzt zu deinem neuen Problem.


Kennst du die Aussage im ? Da ist die ganz einfach zu zeigen:

Es gilt nämlich , was im Grenzübergang die Beh. liefert. Das Problem im Folgenraum sieht man sofort: Wir können diese Ungleichung nicht einfach so übernehmen, da es ja kein endliches mehr gibt.

Zusammen mit der Tatsache, dass wegen ja für genügend großes N ist, können wir die Aussage im aber ausnutzen, um sie hier zu zeigen.

Beachte auch, dass als Maximum angenommen wird, da x Nullfolge ist.
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, danke. Das hilft mir sehr weiter.

Also zunächst mal zu der Aussage im :

Sei , dann



Wenn man nun überall die p-te Wurzel zieht und dann p gegen Unendlich gehen lässt, hat man

, also gilt die Behauptung. Ich meine mich zu erinnern, dass man das "Sandwich-Eigenschaft" nennt.

--------

Jetzt zu der eigentlichen Aussage.

Sei beliebig gewählt.
Es ist n.V. gilt ja, dass , d.h. diese Summe nimmt einen endlichen Wert an. Wenn ich nun N groß genug wähle, muss ja sozusagen die "Restsumme" dann unter jeden vorgegeben epsilon-Wert zu kriegen sein, da die Gesamtsumme ansonsten nicht endlich wäre, also




Wenn ich Dich richtig verstehe, kann man jetzt also das Resultat aus dem anwenden, weil man ja bei der einen Summe wieder endlich viele Summanden hat, also:

, wobei

wegen der Ausgangsaussage dieses Threads gilt, würde ich meinen?


Kann man jetzt sagen:

Epsilon war beleibig gewählt, also lasse Epsilon gegen 0 gehen.
Und dann kann man wieder wie im die p-ten Wurzeln ziehen und dann p gegen unendlich laufen lassen?




Viele Grüße,
Dennis
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Epsilon gegen 0 gehen zu lassen, ist an dieser Stelle sehr gefährlich, weil noch von Epsilon abhängt. Je kleiner du das wählst, desto größer wird N, bis zu es unendlich divergiert (wenn die Folge nicht bereits kompakten Träger hatte). Und die p-te Wurzel von N konvergiert nur gegen 1 (p gegen unendlich), wenn das N nicht mitwächst.

Desweiteren - selbst wenn du das machen könntest, besitzt nun auch N die p-Potenz. Die p-te Wurzel von N^p ist dann nur N - und das wird dir selten den Gefallen tun sofort 1 zu sein.

Leider sehe ich spontan auch keinen Ausweg - ich überleg nochmal.

Edit: Über die 1-Norm kann das auch nicht funktionieren - denn dann würdest du zeigen dass die unendlich-Norm und die l^1-Norm gleich sind - für jede Folge. Das willst du aber gar nicht. Deine Argumente über konvergente Reihen lassen sich 1:1 auf Folgen in l^p übertragen - und von da aus hast du eine bessere Ausgangslage.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU


Edit: Über die 1-Norm kann das auch nicht funktionieren - denn dann würdest du zeigen dass die unendlich-Norm und die l^1-Norm gleich sind - für jede Folge. Das willst du aber gar nicht. Deine Argumente über konvergente Reihen lassen sich 1:1 auf Folgen in l^p übertragen - und von da aus hast du eine bessere Ausgangslage.


Hm, das verstehe ich leider nicht.

Also die Ausgangsaussage gar nicht benutzen?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast

und würdest gerne folgern, dass


Das Problem hierbei ist nun, dass wenn p gegen unendlich geht - sagen wir mal der Term ganz rechts tut dir den Gefallen und macht genau das was man eigentlich tun wollte. Dann hast du da
.

Damit hättest du gezeigt, dass nicht nur die p-Norm für p gegen unendlich gegen die unendlich Norm konvergiert (was man wegen der Namensgebung der Norm sogar erwarten könnte), sondern auch dass die l^1 Norm von x auch gleich der Supremumsnorm ist. Das kann schon nicht stimmen. Deswegen kannst du mit dem rechtesten Term machen was du willst, entweder du kriegst deine Aussage nicht gefolgert, oder du folgerst etwas falsches mit.

Edit: Was du besser tun würdest:
Weil gibt es hier auch für jedes Epsilon > 0 ein N, so dass . Man muss mit der Abschätzung für die unendlich-Norm nun etwas mehr aufpassen, aber genau das wird dir dann helfen die Konvergenz zu beweisen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Erklärung leuchtet mir ein.

Nur diesen Part verstehe ich noch nicht:


Zitat:
Original von IfindU
Was du besser tun würdest:
Weil gibt es hier auch für jedes Epsilon > 0 ein N, so dass . Man muss mit der Abschätzung für die unendlich-Norm nun etwas mehr aufpassen, aber genau das wird dir dann helfen die Konvergenz zu beweisen.


Wo nutzt man hier aus, dass ?

Verwendet man hier die in der Ursprungsaussage gezeigte Inklusion

, wobei hier ?

Und müssen da nicht noch Beträge bei den Summanden stehen, also

?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Sry, in meinem Kopf hieß es plöltzlich oBdA dann kann man sich die ganzen Beträge sparen. Man benutzt sehr implizit, nämlich für alle p. Würde man das nicht fordern, müsste man sich noch technisch mit dem limes rumschlagen, der dann nicht nur p gegen unendlcih heißen müsste, sondern auch noch p groß genug, damit x ordentlich definiert ist. So definiert man es im kleinsten Raum und liegt somit in allen anderen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, ich komme da nicht weiter.

Sei , dann .

Damit , also gilt für ein hinreichend großes , dass für .

Dann habe ich noch:




Aber da weiß ich nun partout nicht mehr weiter...
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Rechts hast du nun eine endliche Summe stehen. Das kannst du wieder schön gegen die l^oo Norm abschätzen, wie du es bereits vorher getan hast. Dann kannst du die p-te Wurzel ziehen und argumentieren, warum es das ist was man haben will. Diesmal hast du nämlich kein N mehr stehen, sondern die p-te Wurzel aus N - was sofort viel sympathischer aussieht.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe doch dann da rechts stehen:

?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Jetzt kannst du aber durch die komplette Ungleichungskette die p-te Wurzel ziehen. Es wird ja nicht gelten, sondern
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann habe ich



(Kann man auch nehmen?)






Die rechte Seite kommt mir noch falsch vor.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde sie sieht gut aus. Moralisch gesehen steht rechts ja
. Wenn wir das kleine Epsilon Heuristisch einmal weglassen, bekommen wir
. Für p gegen unendlich konvergiert es nun wieder gegen das gewünschte.

Natürlich dürfen wir das Epsilon nicht einfach weglassen, aber aktuell sieht es gut aus. Du kannst dir aber leicht, dass
a) die Wurzel ist monoton
b) Uns interessieren nur viele -- aber feste und kleine -- Epsilon, bei denen jeweils wieder N fest ist. Was bekommt man denn, wenn ? [Wenn es kein Epsilon derartig gibt, führt es auf einen trivialen Spezialfall.]

Edit: Die Argumentation funktioniert aktuell nur sauber wenn ist. Für kleinere Folgen, müsste man sich gerade noch was neues überlegen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehme an, Du meinst und nicht .


Also, wenn , so hat man dann wegen der Monotonie der Wurzel

und dieser Ausdruck strebt für gegen .


Das mit dem Spezialfall ist mir noch nicht klar geworden.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem gerade ist, dass ich Epsilon in Abhängigkeit von p gewählt habe. Damit bleibt auch N nicht fix, wenn man p gegen unendlich schickt. Was kein Problem ist, wenn das Supremum über x größer als 1 ist, weil man Epsilon einfach klein lassen kann, damit kann man das N fix lassen und für den Grenzwert bekommt man das Richtige.

Ist nun das Supremum von x echt kleiner 1, zwingt man das Epsilon in Abhängigkeit von p immer kleiner, das N immer größer, und ohne genauere Betrachtung des Wachstums der Beiden würde man da nicht mehr weiter kommen.

Edit: Der Spezialfall wäre das Supremum über alle Folgenglieder ist 0 ist technisch gesehen blöd, weil Epsilon echt größer als 0 sein muss (im Alllgemeinen). Wenn nun aber alle Folgenglieder 0 sind, kann man die Ungleichung recht einfach direkt zeigen.

Was bleibt ist
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde das alles sehr verwirrend. verwirrt

Man muss beachten, ob oder nicht...

...ob ....


ich verliere da ehrlich gesagt so langsam den Durchblick
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn wir uns die Supremumsnorm mal kurz als Zahl y denken (schon oft genug Normen geschrieben für heute).
Wenn y > 1 ist, wächst y^p für p gegen unendlich immer weiter gegen unendlich.
Wenn y < 1 ist, schrumpft y^p immer weiter gegen 0.

Im letzteren Fall hat man bei der Espilondefinition keine gleichmäßige obere Schranke mehr. Wenn du fordert, dass \eps < y^p ist, muss epsilon immer kleiner werden (die rechte Seite konvergiert schließlich gegen 0), was aber wegen der engen Beziehung von Epsilon und N zur Folge hat, dass N immer weiter wächst. Wenn es nur langsam wächst, z.B. N(eps) = N_0 - eps ist es kein Problem, weil die Wurzel es schnell zur 1 treibt und der Beweis funktioniert. Wenn aber N(eps) = N_0^p wächst [p sei implizit über die Wachstumbedingung \eps < y^p gegeben], konvergiert , wenn Epsilon gegen 0 strebt, was im Allgemeinen nicht gut genug ist.

Für y > 1 hast du ja bereits gezeigt, dass sowas nicht passiert [N kann sogar konstant in p gewählt werden].

Ich hoffe das war etwas klarer.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, schon. Aber ich komme an dieser Stelle jetzt nicht mehr weiter.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir Leid, ich habe eine ganze Weile daran überlegt und sehe jetzt auch nicht wie man den Fall lösen kann. traurig

Edit: Idee! Man könnte erst einmal über Folgen mit kompaktem Träger argumentieren. Dafür kann Epsilon tatsächlich 0 gewählt werden und die Aussage ist leicht zu zeigen. Nun sind diese Folgen dicht in l^1, deshalb gibt es eine Folge x^k mit kompaktem Träger und wenn k gegen unendlich geht.

D.h. wir teilen unsere Folge auf (x^k hat die ersten k stellen von x und x^* den Rest) und rechnen
. Für k groß genug ist die unendlich Norm von x_k und x gleich (die Folge nimmt Maximum an und wir haben also
.
Die Summe über alle p können wir durch ein Epsilon nach oben abschätzen, was "stabil" unter dem Grenzwert von p gegen unendlich ist und wir hättens.

Man hoffe ich keinen Denkfehler eingebaut zu haben.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte an sowas hier:

Zunächst mal können wir uns auf beschränken und wegen der Homogenität der Normen können wir uns dann sogar aussuchen. Darauf kommen wir gleich zurück.

Sei nun beliebig.

Dann gibt es ein mit

.

Die letzte Abschätzung gilt nur für . Wegen obiger Überlegung können wir davon aber o.B.d.A ausgehen.

Nach eventueller Vergrößerung von ist .

Daher können wir die Aussage im nutzen und so groß wählen, dass , was insgesamt zu führt. Mehr brauchen wir doch nicht.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschätzung p-Norm
Ich muss leider Rückfragen stellen, weil ich wohl zu begriffsstutzig bin. unglücklich

1.) Wieso können wir uns auf beschränken?

Meine Antwort: Weil die Behauptung für trivialerweise erfüllt ist, da dann .

2.) Was meinst Du mit "Homogenität der Normen"?

Ich weiß nur, dass absolute Homogenität eine der drei Normeigenschaften ist, also . Vielleicht meinst Du ja genau das.

3.) Wieso können wir uns wegen der Homogenität "aussuchen" und was meinst Du mit "aussuchen"?

4.) Wieso können wir o.B.d.A für die eine Abschätzung davon ausgehen, dass ?



Danke für die bisherige enorme Mühe mit mir.

________________________________________________________________________


Eine letzte Idee bringe ich noch vor. Big Laugh

Und zwar könnte man nicht folgende Aussage benutzen:

Für und für alle gilt:



Beweis:

klar für r=0.

Für : Es gilt (Dreiecksungleichung) und daher kann auch die äquivalente Aussage



gezeigt werden.

Das ist aber eine direkte Folgerung aus der Ausgangsaussage dieses Threads!


BEWEIS ENDE



So und dann könnte man doch jetzt Folgendes sagen (hoffe ich!):



dann mit obiger Eigenschaft mit :



Nun hatten wir ja gesagt, dass es ein gibt, s. d. (wenn man N groß genug hernimmt):

.


Kann man denn dann nich jetzt weiter abschätzen mit




ACH MENNO!!
Wenn man jetzt den Limes bildet, dann steht ja rechts

traurig

edit von sulo: Doppelpost zusammengefügt.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
1.) Wieso können wir uns auf beschränken?

Meine Antwort: Weil die Behauptung für trivialerweise erfüllt ist, da dann .

Ja. Freude

Zitat:
Original von Dennis2010
3.) Wieso können wir uns wegen der Homogenität "aussuchen" und was meinst Du mit "aussuchen"?


Hast du für irgendein schon gezeigt, so gilt für jedes :
.

Daher können wir z.B. schon o.B.d.A von ausgehen.

Zitat:
Original von Dennis2010
4.) Wieso können wir o.B.d.A für die eine Abschätzung davon ausgehen, dass ?


Wegen Augenzwinkern


Edit: Ok, hier sollte man noch etwas aufpassen:

Zitat:
Original von tmo
Dann gibt es ein mit

.


Diese Abschätzung gilt unabhängig von . D.h. wenn wir das maßgeschneidert für den Fall gewählt haben, so gilt die Abschätzung auch für alle , denn der Reihenrest ist monoton fallend in , wenn o.B.d.A schon so groß gewählt wurde, dass für alle .

Dies sichert uns, dass nichts passiert, wenn wir nachher bei festem das "groß" wählen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit dem o.B.d.A verstehe ich leider immer noch nicht.

Mir ist nicht klar, wieso man einfach von z.B. ausgehen kann und dabei die Aussage nicht einschränkt...

verwirrt
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ist beliebig und .

Dann gilt .

Nach dem, was ich oben geschrieben habe, reicht es aber, die Aussage für zu zeigen, um sie für zu zeigen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, ich beginne langsam zu verstehen.

Ich zeige die Aussage für , wobei beliebig.





Wenn man also zeigt

reicht es aus, weil diese Aussage ja äquivalent ist zu der Ursprungsaussage, die man beweisen soll, da man die Faktoren wegkürzen kann.


Nun kann man sich aber aussuchen. Und wenn man zum Beispiel wählt (dann ist 2/lambda ist ja größer Null, weil im Nenner nicht 0 stehen kann, da dann aufgrund einer Normeigenschaft x=0 wäre, was ja ausgeschlossen wirde), so hat man sich ohne Beschränkung der Allgemeinheit für ein y entschieden, dessen p-Norm eben 2 ist, was man also benutzen darf.




So richtig kapiert?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so war es gemeint. Sorry, dass ich es etwas lapidar formuliert habe.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das war nicht lapidar, ich war nur zu begriffsstutzig wie so oft.

DANKE DANKE DANKE

__________________________________________________________________________

Da hat sich noch eine Lücke bei mir offenbart.
Wieso gilt

Zitat:
Original von tmo

.

Die letzte Abschätzung gilt nur für .
?


Ich komm' nicht drauf. verwirrt

edit von sulo: Doppelpost zusammengefügt.
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »



Falls x>=1
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Steig ich auch noch nicht durch.

Ich weiß auch nicht, was mit mir los ist.
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Für alle x,p >=1 und eps>0 ist



Jetzt musst du nur noch für x das richtige einsetzen und hast die Ungleichung von tmo.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja x ist diese Summe da...


Aber wie sieht man jetzt

für ? Big Laugh
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, der gute alte Mittelwertsatz, jetzt kapiere ich auch Deinen Beitrag.


Danke.
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