Beweis durch vollständige Induktion: Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n^2

18.10.2012, 21:14

hcl734

Beweis durch vollständige Induktion: Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n^2

Meine Frage:
Ich habe Probleme bei einem Beweis:

Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass die Summe der ersten n ungeraden Zahlen $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} \sum \limits_{l=0}^{n-1} (2l+1) =n^2 \end{eqnarray*}$ .

Wäre nett, wenn mal jemand über meine Ansätze rüberschauen könnte und wenn sie richtig sind einen Tipp gibt wie ich weitermachen könnte.
Zum Kenntnisstand: Ist mein erster selbstständig geführter Beweis also nicht zu viel erwarten.

Meine Ideen:
1.Induktionsanfang

Behauptung gilt für die kleinste ungerade, natürliche Zahl, also für 1.

$\begin{eqnarray*} \sum \limits_{l=0}^{1-1} (2l+1) = 2 \cdot 0 +1 =1 =n^2 \end{eqnarray*}$

2. Induktionsvorraussetzung

$\begin{eqnarray*} \exists n \in \mathbb{R} \wedge "n ist ungerade": \sum \limits_{l=0}^{n-1} (2l+1)=n^2 \end{eqnarray*}$

3. Induktionsschluss

$\begin{eqnarray*} \sum \limits_{l=0}^{n+1-1} (2l+1) = (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum \limits_{l=0}^{n} (2l+1) = (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Und dann vielleicht noch umformen mit dem binomischen Satz zu:

$\begin{eqnarray*} \sum \limits_{l=0}^{n} (2l+1) = \sum \limits_{k=0}^{2} \begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix} n^{2-k} \cdot 1^k \end{eqnarray*}$

18.10.2012, 21:25

Helferlein

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RE: Beweis durch vollständige Induktion: Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n^2

Zitat:

Original von hcl734
2. Induktionsvorraussetzung

$\begin{eqnarray*} \exists n \in \mathbb{R} \wedge "n ist ungerade": \sum \limits_{l=0}^{n-1} (2l+1)=n^2 \end{eqnarray*}$

Wie kommst Du darauf, dass das nur für ungerade n gilt?

22.10.2012, 13:34

hcl734

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RE: Beweis durch vollständige Induktion: Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n^2
Ich dachte es wäre in der Aufgabenstellung gegeben, weil die Summe der ersten n ungeraden Zahlen n^2 sein soll.

22.10.2012, 15:21

Helferlein

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Das ist auch richtig, aber da wird doch nirgendwo behauptet, dass n selber ungerade sein soll.

22.10.2012, 15:33

hcl734

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Ja das ist wahr. smile

22.10.2012, 15:38

Helferlein

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Nachdem wir das geklärt haben: Starte mit der Summe für n+1, spalte den/die überschüssigen Summanden ab und nutze die IA.

22.10.2012, 15:56

hcl734

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$\begin{eqnarray*} (n+1)^2 = (2n+1)+ \sum \limits_{l=0}^{n-1} (2l+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+1)^2 = 2n+1+n^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+1)^2=(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

22.10.2012, 18:13

Helferlein

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Von den Umformungen her richtig, aber ich würde es in einer Gleichungskette darstellen, sonst sieht es nach unsystematischen Probieren aus, das mehr oder weniger zufällig zum Ergebnis führt.

22.10.2012, 18:41

hcl734

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Also so?

$\begin{eqnarray*} (n+1)^2= \sum \limits_{l=0}^{n} (2l+1)= 2n+1+ \sum \limits_{l=0}^{n-1} (2l+1)=2n+1+n^2 =(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

22.10.2012, 19:05

Helferlein

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Nein, eher so:

$\begin{eqnarray*} \sum \limits_{l=0}^{n} (2l+1)= 2n+1+ \sum \limits_{l=0}^{n-1} (2l+1)\stackrel{\text{IV}}{=}2n+1+n^2 =(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

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