Geradengleichung aus Parameterdarstellung

19.10.2012, 11:21

Lara1000

Geradengleichung aus Parameterdarstellung

Hallo!

Ich bin mir gerade etwas unschlüssig. Gegeben ist folgende Parametrisierung einer Geraden:
$\begin{eqnarray*} g = [3,-2] + R[0, 4] \end{eqnarray*}$ Das R ist das reelle Zahlen "R".

Nun habe ich 2 Ideen:
Idee (1)
$\begin{eqnarray*} g = [3,-2] + R[0, 4] = \{[3,-2] + t[0,4] : t \in R\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 = 3 + 0t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = -2 + 4t \end{eqnarray*}$
Hier kann ich aber den Parameter t irgendwie nicht eliminieren wg. 0t...

Idee (2)
Punkt auf g: $\begin{eqnarray*} [3,-2] \end{eqnarray*}$
Richtungsvektor g: $\begin{eqnarray*} [0,4] - [3,-2] = [-3, 6] \end{eqnarray*}$
Ergebenes LGS t eliminieren
$\begin{eqnarray*} x_1 = 3 - 3t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = -2 + 6t \end{eqnarray*}$

Kann mir kurz jemand einen Tip geben?

Gruß Lara

19.10.2012, 11:29

Helferlein

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Die erste Idee ist gut, die zweite weniger.
Du ermittelst dort einen zweiten Punkt der Geraden und nimmst diesen Punkt dann als Richtung. Das kann so nicht funktionieren.

Versuch beim ersten doch mal das Einsetzungsverfahren, oder (noch einfacher) eliminiere in der ersten Gleichung das t.

19.10.2012, 11:33

Lara1000

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Zitat:

Original von Helferleinoder (noch einfacher) eliminiere in der ersten Gleichung das t.

$\begin{eqnarray*} x_1 = 3 + 0t \end{eqnarray*}$ hier ist ja kein t drin also $\begin{eqnarray*} x_1 = 3 \end{eqnarray*}$
Dann weiß ich aber nicht, wie ich mit $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ und dem Parameter t verfahre.

Lara

19.10.2012, 11:38

Helferlein

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Dann solltest Du Dir am besten mal die Gerade aufzeichnen. Dann sollte es klarer werden.

19.10.2012, 11:42

Lara1000

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Zitat:

Original von Helferlein
Dann solltest Du Dir am besten mal die Gerade aufzeichnen. Dann sollte es klarer werden.

Die Gerade schneidet die $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ -Achse bei $\begin{eqnarray*} [0,2] \end{eqnarray*}$
Könnte ich noch einen kleinen "Schubs" haben? verwirrt

19.10.2012, 11:52

Helferlein

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Das tut sie nicht.
Wie zeichnest Du denn Geraden, die Du in Vektorform vorliegen hast? Normal nimmt man den Stützvektor, zeichnet den zugehörigen Punkt ein und folgt von dort aus dem Richtungsvektor.

19.10.2012, 12:00

Lara1000

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Hmm, dann weiß ich gerade nicht weiter...

P.S.: Ich meinte übrigens, dass die y-Achse bei 4 gescnhitten wirdn. Aber das ist dann ja auch falsch.

Lara

19.10.2012, 12:04

Helferlein

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Was ist denn so schwer daran? Du zeichnst den Punkt (3/-2) ein und gehst von dort aus in Richtung (0/4) (also nicht zu dem Punkt (0/4)!). Diese Punkte verbindest Du und verlängerst die Linie, dann hast Du die Gerade.,

19.10.2012, 12:13

Lara1000

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Zitat:

Original von Helferlein
Was ist denn so schwer daran? Du zeichnst den Punkt (3/-2) ein und gehst von dort aus in Richtung (0/4) (also nicht zu dem Punkt (0/4)!). Diese Punkte verbindest Du und verlängerst die Linie, dann hast Du die Gerade.,

So schwer war daran, dass ich einen Richtungsvektor gesucht habe und völlig übersehen habe, dass [0,4] ja schon mein Richtungsvektor ist und keine Koordinate!

Ok. Also die Gerade steht senkrecht auf der x1-Achse und geht hier durch den Punkt [3,0] und ist parallel zu x2-Achse.

Nun bin ich aber wieder am Ausgangsproblem
$\begin{eqnarray*} x_1 = 3 + 0t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = -2 + 4t \end{eqnarray*}$
Auch hier sehen ich den Wald vor lauter Bäumen nicht.

Lara

19.10.2012, 12:16

Helferlein

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Wenn sie parallel zur x2-Achse ist (sich der x1-Wert also nicht ändert) und durch (3/0) geht, welche Gleichung hat sie dann?

19.10.2012, 12:29

Lara1000

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Zitat:

Original von Helferlein
Wenn sie parallel zur x2-Achse ist (sich der x1-Wert also nicht ändert) und durch (3/0) geht, welche Gleichung hat sie dann?

Also die allgemeine Geradengleichung $\begin{eqnarray*} y=mx+b \end{eqnarray*}$ greift imho hier nicht. Also vielleicht so etwas wie $\begin{eqnarray*} x_1=t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t \in R \end{eqnarray*}$

19.10.2012, 12:45

Helferlein

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Um das ganze zu einem Abschluss zu bringen: Du hast oben $\begin{eqnarray*} x_1=3 \end{eqnarray*}$ berechnet. Das ist die Gleichung der Geraden. $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ kann ja beliebige Werte annehmen, daher taucht es in der Gleichung nicht auf, bzw. wird mit 0 gewichtet.

19.10.2012, 12:47

Lara1000

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Ok. Danke für die Mühen!
Lara

20.10.2012, 10:54

mYthos

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Dazu ist noch zu bemerken, dass diese Geradengleichung KEINE Funktionsgleichung darstellt, denn f: R --> {3} ist eine Zuordnung, aber keine Funktion.

Die folgerichtige Beschreibung der Geradengleichung findet daher genau genommen nur in der Parameterform ihre Entsprechung.

Natürlich darf man auch x = 3 schreiben, muss sich aber darüber im Klaren sein, dass dies keine Funktionsgleichung darstellt. Deshalb "greift" auch die Form y = mx + b hier nicht.

mY+

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