Linearfaktordarstellung

19.10.2012, 12:25

Senzelezz

Linearfaktordarstellung

Kurze Frage vorweg: Gibt es hier einen Guide für das verwenden von Latex?

Nun zur LFD - diese sollte bei mir bei quadratischen Fkt kein Problem sein, obwohl?

Beispiel Fkt ohne Nullstelle:

f(x) = x² + 2x + 6

pq-Formel:
x1/x2 = -1 +- Wrzl aus -5, daraus folgt es gibt keine NS, wie komme ich nun rechnerisch auf die LFD?

Beispiel Fkt mit Nullstelle:

f(x) = -x² + 2x + 5
f(x) = x² - 2x - 5

pq Formel:
x1/x2 = 1 +- 3
x1 = 4
x2 = -2

f(x) = (x - x1) (x - x2)
f(x) = (x - 4) (x + 2)

Daraus folgt jetzt jedoch: f(x) = x² + 2x - 8

Wo liegt der Fehler?

Beispiel Fkt höheren Grades:

x³/(x²-4)

Als erstes mache ich eine Annahme, in diesem Fall ergibt die Fkt 0 , wenn x = 0 ist.

0³/(0²-4) => 0/-4 => 0

Normalerweise würde ich hier die Polynomdivision durchführen, um aus dem x³ ein x² zu machen, indem ich die Funktion durch (x - Ns) teile - hier jedoch nicht nötig da die Nullstelle beim P(0|0) liegt.

Also ich merke, irgendwie bin ich hier noch ziemlich unsicher.

19.10.2012, 12:36

Mulder

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RE: Linearfaktordarstellung

Zitat:

Original von Senzelezz
x1/x2 = -1 +- Wrzl aus -5, daraus folgt es gibt keine NS, wie komme ich nun rechnerisch auf die LFD?

Es gibt hier keine Linearfaktordarstellung, weil das Polynom eben keine Nullstellen hat. Wenn du das Polynon irgendwie in der Form (x-a)*(x-b) zerlegen könntest, hättest du ja plötzlich wieder zwei Nullstellen, nämlich a und b. Du hast aber doch gerade nachgerechnet, dass es keine Nullstellen gibt.

Zumindest im Reellen gibt es keine Nullstellen, ergo auch keine Linearfaktordarstellung.

Zitat:

Original von Senzelezz
Beispiel Fkt mit Nullstelle:

f(x) = -x² + 2x + 5
f(x) = x² - 2x - 5

pq Formel:
x1/x2 = 1 +- 3

Da hast du dich irgendwo verrechnet. Wie kommst du auf 3?

Zitat:

Original von Senzelezz
Beispiel Fkt höheren Grades:

x³/(x²-4)

Als erstes mache ich eine Annahme, in diesem Fall ergibt die Fkt 0 , wenn x = 0 ist.

0³/(0²-4) => 0/-4 => 0

Ja, bei x=0 liegt die (einzige) Nullstelle. Was möchtest du hier denn jetzt noch machen? Wozu überhaupt Polynomdivision?

Du kannst Zähler und Nenner separat faktorisieren, aber den Bruch wirst ja nicht los, das hier ist halt keine ganzrationale Funktion (also kein Polynom).

PS: Zu Latex schau mal hier. Der Formeleditor hilft dir dann auch weiter.

19.10.2012, 12:40

lgrizu

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RE: Linearfaktordarstellung

Zitat:

Original von Senzelezz
Beispiel Fkt ohne Nullstelle:

f(x) = x² + 2x + 6

pq-Formel:
x1/x2 = -1 +- Wrzl aus -5, daraus folgt es gibt keine NS, wie komme ich nun rechnerisch auf die LFD?

In den reellen Zahlen gar nicht....

Zitat:

Original von Senzelezz
Beispiel Fkt mit Nullstelle:

f(x) = -x² + 2x + 5
f(x) = x² - 2x - 5

pq Formel:
x1/x2 = 1 +- 3
x1 = 4
x2 = -2

f(x) = (x - x1) (x - x2)
f(x) = (x - 4) (x + 2)

Daraus folgt jetzt jedoch: f(x) = x² + 2x - 8

Wo liegt der Fehler?

Ganz simpel, die beiden Stellen $\begin{eqnarray*} x_1=4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=-2 \end{eqnarray*}$ sind einfach keine Nullstellen der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=-x^2+2x+5 \end{eqnarray*}$ wie man leicht sieht:

$\begin{eqnarray*} f(-2)=-3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(4)=-3 \end{eqnarray*}$

Desweiteren sind die beiden von dir genannten Funktionen f nicht identisch, sie haben lediglich die gleichen Nullstellen.....

Zitat:

Original von Senzelezz
Beispiel Fkt höheren Grades:

x³/(x²-4)

Als erstes mache ich eine Annahme, in diesem Fall ergibt die Fkt 0 , wenn x = 0 ist.

0³/(0²-4) => 0/-4 => 0

Normalerweise würde ich hier die Polynomdivision durchführen, um aus dem x³ ein x² zu machen, indem ich die Funktion durch (x - Ns) teile - hier jedoch nicht nötig da die Nullstelle beim P(0|0) liegt.

Das ganze verstehe ich nun gar nicht....

Wieso sollte man f(x)=x³ dividieren wollen? Die Funktion hat eine dreifache Nullstelle bei x=0....

19.10.2012, 12:46

Senzelezz

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RE: Linearfaktordarstellung

Zitat:

Original von Mulder
Es gibt hier keine Linearfaktordarstellung, weil das Polynom eben keine Nullstellen hat. Wenn du das Polynon irgendwie in der Form (x-a)*(x-b) zerlegen könntest, hättest du ja plötzlich wieder zwei Nullstellen, nämlich a und b. Du hast aber doch gerade nachgerechnet, dass es keine Nullstellen gibt.

Zumindest im Reellen gibt es keine Nullstellen, ergo auch keine Linearfaktordarstellung.

Ah, okay. Danke.

Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Original von Senzelezz
Beispiel Fkt mit Nullstelle:

f(x) = -x² + 2x + 5
f(x) = x² - 2x - 5

pq Formel:
x1/x2 = 1 +- 3

Da hast du dich irgendwo verrechnet. Wie kommst du auf 3?

Stimmt, 2,5 ergibt die Wurzel. Verrechnet.

Damit wäre x1 = 3,5 und x2 = -1,5
Folglich: (x - 3,5) * (x + 1,5)
f(x) ist damit: f(x) = x² - 2x - 5,5

Immer noch ein Fehler..

Zitat:

Original von Mulder
Ja, bei x=0 liegt die (einzige) Nullstelle. Was möchtest du hier denn jetzt noch machen? Wozu überhaupt Polynomdivision?

Du kannst Zähler und Nenner separat faktorisieren, aber den Bruch wirst ja nicht los, das hier ist halt keine ganzrationale Funktion (also kein Polynom).

PS: Zu Latex schau mal hier. Der Formeleditor hilft dir dann auch weiter.

D.h. die Linearfaktordarstellung ist nur bei Fkt möglich, die eine NS aufweisen. Alles klar. Danke für den Link.

19.10.2012, 12:51

Mulder

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RE: Linearfaktordarstellung

Zitat:

Original von Senzelezz
Stimmt, 2,5 ergibt die Wurzel. Verrechnet.

Das tut sie nicht. Das ist nun wirklich der falsche Zeitpunkt, um aufzurunden! geschockt

Es ergeben sich die beiden (irrationalen!) Nullstellen

$\begin{eqnarray*} x_1 = 1 + \sqrt{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = 1- \sqrt{6} \end{eqnarray*}$

19.10.2012, 12:58

lgrizu

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RE: Linearfaktordarstellung

Zitat:

Original von Senzelezz

D.h. die Linearfaktordarstellung ist nur bei Fkt möglich, die eine NS aufweisen. Alles klar.

Was immer das bedeuten soll....

Es ist $\begin{eqnarray*} f(x)=x^3=x \cdot x \cdot x=(x-0) \cdot (x-0) \cdot (x-0) \end{eqnarray*}$

19.10.2012, 13:02

Senzelezz

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RE: Linearfaktordarstellung

Zitat:

Original von Igrizu
Desweiteren sind die beiden von dir genannten Funktionen f nicht identisch, sie haben lediglich die gleichen Nullstellen.....

Du beziehst Dich wahrscheinlich darauf, dass ich f(x) in -f(x) umgekehrt habe. Dies musste ich jedoch tun, um die pq-Formel anwenden zu können, oder nicht?

Zitat:

Original von Igrizu
Das ganze verstehe ich nun gar nicht....

Wieso sollte man f(x)=x³ dividieren wollen? Die Funktion hat eine dreifache Nullstelle bei x=0....

Woran erkenne ich denn die dreifache Nullstelle? Eine habe ich daran erkannt, dass bei x = 0 die Funktion 0 ergibt, weshalb eine Ns im Punkt P(0|0) liegen muss.

Zitat:

Original von Mulder
Das tut sie nicht. Das ist nun wirklich der falsche Zeitpunkt, um aufzurunden! geschockt

Es ergeben sich die beiden (irrationalen!) Nullstellen

$\begin{eqnarray*} x_1 = 1 + \sqrt{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = 1- \sqrt{6} \end{eqnarray*}$

Es lag also am Runden? Ich hatte lediglich mit einer dadurch begründeten Verfälschung von Beträgen um die 0,x gerechnet, nicht um so große Verfälschungen des Ergebnisses. Das werde ich in Zukunft sein lassen.

19.10.2012, 13:05

Mulder

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RE: Linearfaktordarstellung

Zitat:

Original von Senzelezz
Das werde ich in Zukunft sein lassen.

Ich bitte darum!

Trotzdem kann man hier natürlich auch die LFD hinschreiben:

$\begin{eqnarray*} f(x) = (x-1-\sqrt{6}) \cdot (x-1+\sqrt{6}) \end{eqnarray*}$

Bzw. es gehört ja noch ein Minuszeichen davor, das hattest du ja wegdividiert, um die pq-Formel anwenden zu können. Jetzt muss es da natürlich wieder hin, also so:

$\begin{eqnarray*} f(x) = -(x-1-\sqrt{6}) \cdot (x-1+\sqrt{6}) \end{eqnarray*}$

19.10.2012, 13:42

Senzelezz

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Danke für die Hilfe! Das habe ich nun verstanden.

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