Konfidenzinterval Binomialverteilung |
| 19.10.2012, 12:27 | Stephan78 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Konfidenzinterval Binomialverteilung habe folgende Problemstellung: Ich habe eine Urne, in der eine bekannte Anzahl rote und schwarze Kugeln befindlich sind. Ich entnehme daraus eine Stichprobe mit n Ziehungen mit Zurücklegen. Nun will ich ein Konfidenzintervall berechnen, in dem der Anteil an roten Kugeln in der Stichprobe mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit alpha liegen muss. Wie sieht dafür die Formel aus? Bei wikipedia habe ich immer nur Formeln bzw. Näherungsformeln für den umgekehrten Fall gefunden, also: Ich entnehme aus der Urne mit unbekannter ZUsammensetzung n Kugeln und schätze das Konfidenzintervall der Urnenzusammensetzung auf Basis der Zusammensetung der entnommenen Stichprobe ab. Ersteres und letzteres ist aber nicht das Gleiche, meiner Meinung nach. So, nun bin ich mal gespannt auf Eure Tips. |
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| 19.10.2012, 23:28 | chris_78 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, das was Du suchst läuft auch nicht unter dem begriff Konfidenzintervall. Schau mal zum Thema Sigma-Umgebung bzw. Sigma-Regeln. |
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| 20.10.2012, 01:48 | Stephan78 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, ich glaube das ist nicht, was ich suche. Die Sigmaumgebung ist nur auf Verteilungen anwendbar, die symmetrisch sind. Bei Bernoulliverteilungen mit p<>0,5 ist das nicht der Fall. Was mir auch Kopfschmerzen macht, ist, dass das Konfidenzintervall auf Basis der Sigmaumgebung wächst, wenn die Größe der Stichprobe wächst. Ich habe mal Urnenziehungen simuliert mit p=0,5 und umso größer die Zahl der Ziehungen, umso kleiner war der Betrag, in dem die Trefferquoten von 50% abwichen. |
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| 20.10.2012, 03:20 | chris_78 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also zuerst einmal haben wir hier eine Binomialverteilung (Bernoulliverteilung ist ein sozusagen ein Spezielfall der Binomialverteilung mit n=1 und das ist ja hier nicht der Fall). Es stimmt, dass die Binomialverteilung nur für p=0,5 (und p=0 und p=1) symmetrisch ist. Man kann aber mit den Sigma-Umgebungen u.U. sehr gute Näherungen erzielen. Wenn Du Dir den Graph der Dichtefunktion der Normalverteilung (welcher symmetrisch ist) und der Binomialverteilung anschaust siehst Du auch leicht, dass die Normalverteilung für genügend große n eine Näherung der Binomialverteilung darstellt. Man sagt wenn (Laplace-Bedingung) erfüllt ist kann man die Normalverteilung als Näherung heranziehen und somit die Sigma-Umgebung nutzen. Wenn ich Dich recht verstehe hast Du eine Urnenziehung mit p=0,5 simuliert, die Anzahl k der Treffer rote Kugel gezählt und festgestellt dass bei großem n sich k/n den 50% annährt. Was Du da festgestellt hast nennt sich auch "Gesetz der großen Zahlen". Trotzdem wird Dein Intervall auf Basis der Sigma-Regeln größer. Warum ist leicht erklärt. Bsp. Münzwurf mit p=0,5 für Zahl. Bei 10 Würfen kommt 4mal Zahl. Relative Häufigkeit 4/10=0,4 Abweichung vom Erwartungswert (0,5*10=5) wäre hier bloß 1. Bei 1000 Würfen kommt 470mal Zahl. Relative Häufigkeit 470/1000=0,47 470 weicht zwar um 30 vom Erwartungswert ab führt aber trotzdem zu einer relativen Häufigkeit, die deutlich näher an den 0,5 dran ist, als es bei bloß 10 Würfen der Fall war. |
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| 20.10.2012, 23:40 | Stephan78 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Aha, alles klar. Hatte uebersehen, dass die relative Abweichung vom Erwartungswert bei groesserer Stichprobe kleiner wird, auch wenn die absolute Abweichung groesser wird. Ich weiss nur nicht, bis zu wieviel Abweichung von p=0,5 die Sigma-Umgebung noch brauchbare Werte liefert. Was ist bei 54%? Oder 60%? Und: Laesst sich dieses Verfahren eigentlich auch fuer die hypergeometrische Verteilung anwenden oder gibt es da etwas anderes, besseres? |
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| 22.10.2012, 15:10 | chris_78 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Eine ausreichend gute Näherung erhälst Du, wie schon gesagt, wenn die Laplace Bedingung erfüllt ist. Also auch bei 54% und auch bei 25% oder 10%, sofern n genügend groß ist, dass die Laplace Bedingung erfüllt ist. Ist die Stichprobe im Vergleich zur Grundgesamtheit realtiv klein, so weichen die Ergebnisse der hypergeometrische Verteilung nur gering von der Binomialverteilung ab, man kann sich also darüber annähren. Wie man da sonst rangehen könnte, wüsste ich so spontan auch nicht |
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