Aufstellung 4 linearer Funktionen unterschiedlicher Steigung |
| 19.10.2012, 11:39 | Senzelezz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Aufstellung 4 linearer Funktionen unterschiedlicher Steigung a) Bestimmen Sie die Funktionsterme der Weg-Zeit-Funktion beider Wagen. b) Berechnen Sie die benötigte Zeit und den zurückgelegten Weg, wenn der zweite Fahrer den ersten eingeholt hat. Nun denn, meine bisherigen Überlegungen: Es handelt sich bei den Funktionen um lineare Funktionen, d.h. von der Form f(x) = ax + b Fahrer A fährt mit konstanter Geschwindigkeit, es ist somit nur eine Funktion vorhanden, die seinen Graphen beschreibt. Fahrer B jedoch wechselt seine Geschwindigkeit 2 mal, d.h. um seinen Graphen zu beschreiben, muss ich 3 lineare Funktionen aufstellen. Fahrer A: f(x) = ax + b b = 0, fällt somit weg. Steigung a: konstant bei 120, pro 1 Stunde x legt er 120 Km y zurück. Um es in den Graphen zeichnen zu können, sage ich statt 120 km/h 1,2 km, somit eine Steigung von 1,2 pro Einheit auf der x-Achse. Also ist die Funktion: f(x) = 1,2x Fahrer B: g1(x) = ax + b g2(x) = ax + b g3(x) = ax + b g1(x) = x bei einer D = R+{<1} (Richtige Schreibweise? Ich möchte festlegen, dass der Graph bei einem y-Wert von 1 aufhört.) Nun muss ich die zweite Funktion herstellen: g2(x) = 0,83x +b bei einer Definitionsmenge D = R+{>=1; } (richtige Schreibweise? Ich möchte festlegen, dass der Graph erst bei einem y-Wert von 1 beginnt.) g3(x) = 1,2 x +b Das b in beiden Funktionen könnte ich ja durch Einsetzen eines Punktes noch bestimmen. Doch wie ermittel ich rechnerisch, ab welchem Punkt (x|y) die dritte Funktionsgleichung beginnen muss? Wenn ich alle Funktionsterme hätte, würde ich theoretisch die Funktionen gleichsetzen um den Schnittpunkt beider Wagen zu berechnen, damit würde ich wissen, zu welchem Zeitpunkt der zweite Wagen den ersten eingeholt hat. Doch da ich insgesamt 4 Funktionen haben werde, kann ich nicht mehr gleichsetzen? |
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| 19.10.2012, 11:59 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Aufstellung 4 linearer Funktionen unterschiedlicher Steigung
Da steht aber 132 km/h...
Das würde für die 100 km/h passen. Dann könnte man schreiben: "für 0<x<1".
Wieso 0,83? Die Geschwindigkeit ist hier 120 km/h!
Wieso 1,2? Die Geschwindigkeit ist hier 150 km/h! Viele Grüße Steffen |
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| 19.10.2012, 15:20 | Senzelezz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Entweder die Fehler lagen an mangelnden kognitiven Fähigkeiten oder an nachlassender Aufmerksamkeit, ich hoffe auf letzteres. 
Korrektur: Fahrer A: f(x) = 1,32 x Fahrer B: g1(x) = x g2(x) = 1,2 x + b g3(x) = 1,5 x + b Da fällt mir etwas ein: Ich kann durchaus gleichsetzen. Dazu benötige ich aber die b's in g2 und g3. Hm. "Der zweite Wagen fährt zunächst eine Stunde mit 100 km/h"...d.h., wir haben den Punkt W(1|1), an dem er das erste mal die Geschwindigkeit wechselt. wenn ich diesen Punkt W in g2 einsetze, kann ich b ausrechnen. g2 (x) = 1,2 x +b Punkt W (1|1) 1 = 1,2 * 1 + b |-1,2 -0,2 = b Somit g2(x) = 1,2 x - 0,2 Nun fehlt mir noch das b in g3. "[...] dann 50 Minuten mit 120 km/h [...]" Damit müsste ich W2 errechnen können, mal überlegen. 50/60 = 0,83 --> das ist der x-Wert des Punktes W2. Fehlt noch der y-Wert. Für dessen Berechnung ich widerum b benötige, da ich sonst zwei Unbekannte in der Funktion hätte. Vorschläge? |
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| 19.10.2012, 15:36 | Senzelezz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Moooment. Ich müsste doch ganz einfach W2 mithilfe von g2 errechnen können. Mal sehen. Wir hatten g2 (x) = 1,2x - 0,2 --> Wenn ich dort W2 (1,83|y) einsetze, müsste ich nach y auflösen können: y = 1,2 * 1,83 - 0,2 y = 2 Somit habe ich W2 (1,83|2) --> Damit kann ich b in g3 berechnen: g3 (x) = 1,5x + b 2 = 1,5 * 1,83 + b 2 = 2,745 + b | -2,745 -0,745 = b Damit haben wir alle Funktionen: Fahrer A: f(x) = 1,32 x Fahrer B: g1(x) = x g2(x) = 1,2 x - 0,2 g3(x) = 1,5 x - 0,745 Nun setze ich nacheinander gleich, um zu sehen, wo sich Fahrer A und Fahrer B schneiden. f(x) = g1(x) 1,32 x = x Ich weiß, dass sie sich hier noch nicht schneiden können, doch wie beweise ich das mathematisch? Also wie löse ich die Gleichsetzung auf? f(x) = g2(x) 1,32 x = 1,2 x - 0,2 |-1,2x 1,12 x = -0,2 |:1,12 x = 0,18 x in beliebige Gleichung einsetzen: in g2 y = 1,2 * 0,18 - 0,2 y = 0,22 - 0,2 y = 0,02 Somit ein Schnittpunkt in S(0,18|0,02)? Irgendwo hab ich einen Fehler. |
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| 19.10.2012, 15:36 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
So sieht's logischer aus. Nun würde ich mir allerdings die Arbeit ersparen, die Funktion nur f(x)=ax+b zu nennen. Denn einfacher ist es doch, eine Gerade der richtigen Steigung nach oben und nach rechts zu verschieben! Somit wäre mein Ansatz: Ich zeig Dir mal für g2(x), wie ich's meine. Die Gerade mit der Steigung 1,2 soll ja auf den Punkt (1|1) aufsetzen, eben da, wo g1(x) aufhört. Das heißt, wir müssen sie um 1 nach rechts und um 1 nach oben verschieben. Das ergibt b=1 (Verschiebung nach oben) und c=1 (Verschiebung nach rechts). Also: Falls Du von irgendjemandem gezwungen wirst, doch die Form ax+b zu verwenden, ist es jedenfalls leichter, dies umzurechnen. Wenn nicht, umso besser. Und für g3(x) läuft es entsprechend. Viele Grüße Steffen |
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| 19.10.2012, 15:59 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Unsere Postings haben sich überschnitten. Und Deine Funktionen stimmen auch. Nun weiter:
Es ist offensichtlich, daß kein x außer Null diese Gleichung erfüllt. Und da schneiden sie sich ja auch, denn das ist Punkt A.
Nun ja. Das Thema "nachlassende Aufmerksamkeit" hast Du ja schon erwähnt... Wie geht's weiter? Viele Grüße Steffen |
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| 19.10.2012, 16:17 | Senzelezz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ah, okay: 1,12 x = - 0,2 |:1,12 x = -0,18 Somit schneiden sich die beiden Funktionen im 3. Quadranten und sind damit außerhalb unserer Betrachtung. Somit kann es nur sein: f(x) = g3(x) 1,32 x = 1,5 x - 0,745 | -1,5 x -0,18 x = - 0,745 | : (-0,18) x = 4,14 x in g3 einsetzen: y = 1,5 * 4,14 - 0,745 y = 5,47 Schnittpunkt in S(4,14|5,47) Damit hat Fahrer 2 nach 4,14 Stunden und 5,47 Km Fahrer 1 aufgeholt. Richtig? Gibt es ein Programm, in dem ich die Graphen skizzieren lassen kann? Hatte über google nichts passendes gefunden. |
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| 19.10.2012, 16:24 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Richtig!
Fast. Wenn mein Auto über vier Stunden für fünfeinhalb Kilometer braucht, ist es Zeit für ein neues.
So mit stückweiser Definition wüßte ich jetzt auch nichts, ich kenne mich aber auch nicht so aus. Gnuplot wird oft empfohlen. Mir persönlich fiele nur Excel ein, mit einem xy-Graphen. Viele Grüße Steffen |
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| 19.10.2012, 16:41 | Senzelezz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
547 Km
Na also, geht doch. Vielen Dank für die Hilfe! 
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