Funktionsscharen Aufgabe

19.10.2012, 14:58

Vinicius7

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Funktionsscharen Aufgabe

Hallo alle zusammen. Da ich bald eine Matheklausur schreibe, möchte ich natürlich die Sachen, die wir gelernt haben wiederholen und einige Aufgaben rechnen, damit ich wirklich alles verstehe. Bei den Funktionsscharen habe ich allerdings einige Probleme. Eine Aufgabe lautet:
Aufgabe 1: Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray*} fa(x)=0,5x^3-ax^2+4,5x+1 \end{eqnarray*}$

a) Bestimme a so, dass fa an der Stelle x=-1 ein Extremum hat. Welcher Art ist dieses?

Das erste Problem ist, dass ich nicht weiß, welchen Ansatz man dafür braucht.

19.10.2012, 15:01

Equester

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Hi Vinicius,
was ist denn ein Extremum? smile

smile

Wie berechnest du das normal?

19.10.2012, 15:12

Vinicius7

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Das ist ja kein Problem. Ableiten, notwendige und hinreichende Bedingung, aber ich dachte, man müsste anders an die Aufgabe rangehen, weil man a erst bestimmen muss.

Die Ableitungen sind:
$\begin{eqnarray*} fa'(x)=1,5x^2-2ax+4,5 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} fa''(x)=3x-2a \end{eqnarray*}$

Dann muss man das mit der notwendigen Bedingung machen:
notw. Bed.: f(x)=0

$\begin{eqnarray*} 1,5x^2-2ax+4,5=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |:1,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2-(4/3)a+3 \end{eqnarray*}$ dann hat man $\begin{eqnarray*} p=-(4/3)a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q=3 \end{eqnarray*}$ und muss die pq-Formel anwenden.

Erstmal soweit. Nicht das ich auf einmal zu viel gemacht habe und das alles falsch war Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.10.2012, 15:20

Equester

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Abgesehen von dem Schreibfehler f'(x) passt der Ansatz Freude

Freude

.

Beachte aber, dass du die Stelle x=-1 schon kennst, du brauchst also x nicht
erst zu errechnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

$\begin{eqnarray*} 1,5x^2-2ax+4,5=0 \end{eqnarray*}$
Hier setze direkt deinen x-Wert ein und suche a.

Mit der zweiten Ableitung triffst du eine Aussage zu der Art Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

19.10.2012, 15:56

Vinicius7

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Zitat:

Original von Equester
Abgesehen von dem Schreibfehler f'(x) passt der Ansatz Freude

Freude

.

Stimmt, f'(x) muss das natürlich sein Finger1

Finger1

Zitat:

Original von Equester
Beachte aber, dass du die Stelle x=-1 schon kennst, du brauchst also x nicht
erst zu errechnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

$\begin{eqnarray*} 1,5x^2-2ax+4,5=0 \end{eqnarray*}$
Hier setze direkt deinen x-Wert ein und suche a.

Mit der zweiten Ableitung triffst du eine Aussage zu der Art Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Als Ergebnis bekomme ich da -3 raus und das stimmt auch mit der Lösung überein, die wir bekommen haben. Aber was bringt eine Lösung, wenn man nicht weiß, wie man darauf kommt? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielen Dank für deine Hilfe Freude

Freude

Ich versuch mich mal an Aufgabe 1b) und wenn ich da nicht weiter weiß, melde ich mich hier nochmal.

19.10.2012, 15:57

Equester

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Zitat:

Aber was bringt eine Lösung, wenn man nicht weiß, wie man darauf kommt?

Darf ich da nun rauslesen, dass es nun verstanden ist? Sonst hake gerne nochmals nach smile

smile

.

Viel Spaß bei der b). Bei Problemen einfach wieder melden.

Wink

Wink

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19.10.2012, 16:19

Vinicius7

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Ja, ich habs verstanden, danke smile

smile

Spaß hab ich doch immer bei Mathe Zunge

Zunge

19.10.2012, 16:22

Equester

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Das ist doch das wichtigste Big Laugh

Big Laugh

.

Wink

19.10.2012, 16:34

Vinicius7

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Ok, ich hab schon die nächste Frage:
Gibt es einen Tipp, wie ich die Nullstelle bestimmen kann? Ich hab ja $\begin{eqnarray*} 3x-2a=0 \end{eqnarray*}$ . Ich tue mir da aber immer schwer, eine Nullstelle rauszubekommen, indem ich für x Zahlen einsetze und schaue, was a dann ist, aber bei dieser Gleichung komme ich noch nicht mal darauf. Es wär schön, wenn das doch einfacher gehen würde Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.10.2012, 16:42

Equester

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Bist du gerade dabei die Wendepunkte zu bestimmen?
Löse 3x-2a einfach x auf. Du hast dann natürlich eine Abhängigkeit von a. Das passt dann schon Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Das ist ja gerade der Sinn, einer Funktionenschar. Je nach a, ändert sich die Nullstelle (x) Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

19.10.2012, 16:54

Vinicius7

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Das mit dem nach x auflösen ist so logisch, aber auf solche logischen Sachen komme ich irgendwie nicht. Dass da etwas mit a rauskommen muss, das kapier ich, nur der Weg dahin war mir nicht klar. Wie gesagt hab ich es immer mit Zahlen einsetzen ausprobiert und bin dann auf x gekommen, aber das ist wesentlich komplizierter Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.10.2012, 16:59

Equester

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Ich weiß zwar nicht genau was du mit "Zahlen einsetzen" meinst, aber rechnest
du allgemein, ist es falsch nur ein paar Zahlen einzusetzen. Von unendlich Möglichkeiten
deckst du da nur wenig ab.

Oder musst du einen Bedingung erfüllen und spielst solange am a rum, bis es passt?
Das ist zwar nicht ganz falsch, aber sobald Rechenweg, bzw. ungerade a verlangt sind,
hast du deine Schwierigkeiten Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Aber jetzt weißt du ja, wie man da rangeht, oder?

19.10.2012, 17:12

Vinicius7

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Ich habe immer Zahlen für x eingesetzt und dann versucht, damit auf x zu kommen. Bei einigen Aufgaben funktioniert das, wenn x eine normale Zahl ist.
Aber jetzt weiß ich ja, wies richtig geht.

Dann ist c) dran:
Für welche Werte von a hat der Graph von fa einen Sattelpunkt?

Da hab ich leider keinen Ansatz verwirrt

verwirrt

19.10.2012, 17:19

Equester

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Wieder die Frage: Wie berechnet man normal einen Sattelpunkt?
Was ein Sattelpunkt ist, ist ja klar, oder?

19.10.2012, 17:27

Vinicius7

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Was ein Sattelpunkt ist weiß ich, aber nicht wie man den berechnet

19.10.2012, 17:38

Equester

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Was ist denn an diesem so besonders? Dann kannst du mir sicher die
Bedingungen dafür nennen, wenn du dir diese Besonderheiten nochmals in
Gedächtnis rufst Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

19.10.2012, 17:53

Vinicius7

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Die Steigung ist gleich Null, also ist auch f'(x) an der Stelle gleich Null. Dann könnte man bei der ersten Ableitung (2/3)a für x einsetzen, aber dann muss man halt noch herausfinden, was in c) gefragt ist. Wenn man das mit der Fallunterscheidung macht, dann müsstest du mir das auch noch erklären, weil ich das nicht verstanden habe, als wir das in der Schule gemacht haben unglücklich

unglücklich

19.10.2012, 18:00

Equester

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Genau, wir haben nicht nur die Bedingung, dass f''(x)=0 sein muss (und f'''(x) ungleich 0),
sondern eben auch f'(x)=0.

Bestimme nun die Fälle, woe f'(x)=0 und f''(x)=0. Eine letzte Überprüfung mit f'''(x)
und du bist fertig.

(Beginne mit der 2ten Ableitung, setze das Ergebnis in die erste Ableitung ein Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Eine Fallunterscheidung wie bei einer Ungleichung ist übrigens nicht nötig,
falls du das meinst.

19.10.2012, 18:21

Vinicius7

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Was bei f''(x) rauskommt hatten wir ja schon((2/3)a). Aber ich glaube, dass ich gleich wieder Hilfe brauche, da bei sowas immer etwas schiefgeht.

Wenn ich 2/3a einsetze, steht da: $\begin{eqnarray*} 1,5*(2/3a)^2-2a*(2/3a)+4,5 \end{eqnarray*}$
Wenn ich das vereinfache: $\begin{eqnarray*} 2/3a-4/3a^2+4,5=0 \end{eqnarray*}$ , wenn man das umstellt:
$\begin{eqnarray*} -(4/3)a^2+2/3a+4,5 \end{eqnarray*}$ (dann sieht man, dass man gleich die pq-Formel anwenden kann).

Das rechnet man durch -4/3, um den Faktor vor x^2 wegzubekommen. Dann steht da:
$\begin{eqnarray*} a^2-1/2a-27/8 \end{eqnarray*}$

Also wär $\begin{eqnarray*} p=-1/2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q=-27/8 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass das soweit richtig ist. Wegen dem -27/8 bin ich mir schon nicht sicher, weil das so eine komische Zahl ist. Dann denk ich immer, dass das nicht richtig sein kann.

19.10.2012, 18:33

Equester

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$\begin{eqnarray*} 1,5*(2/3a)^2-2a*(2/3a)+4,5 \end{eqnarray*}$

Das ist noch richtig.

In der folgenden Zeile scheinst du mir das a² verschluckt zu haben Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Das a wird auch
quadriert!
Dann wird auch das Ergebnis ein wenig schöner Big Laugh

Big Laugh

.

19.10.2012, 18:50

Vinicius7

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Dann hat man also $\begin{eqnarray*} 2/3a^2-4/3a^2+4,5 \end{eqnarray*}$

Kann man 2/3a^2 und -4/3a^2 einfach zusammenrechnen, sodass da -2/3a^2 kommt oder darf man das nicht?

19.10.2012, 18:52

Equester

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Doch, das kannst du so vereinfachen.
Du erhälst dann welche Möglichkeiten für a?

19.10.2012, 19:28

Vinicius7

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Ich geb mal die Rechenschritte an, die ich gemacht habe:
$\begin{eqnarray*} -2/3a^2+4,5=0 |/(-2/3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^2-27/4 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |+27/4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^2=27/4 \end{eqnarray*}$ davon die wurzel und dann kommt da ungefähr 2,5981 raus.

Und weil das kein schöneres Ergebnis ist, ist das nach deiner Aussage auch nicht das richtige.

19.10.2012, 19:33

Equester

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Doch das ist richtig. Ist doch ein schönes Ergebnis? 6,75 in Dezimalzahlen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

19.10.2012, 20:02

Vinicius7

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Muss man davon nicht die Wurzel nehmen? verwirrt

verwirrt

19.10.2012, 20:05

Equester

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Das bezog sich auf deine 27/4.

-> $\begin{eqnarray*} a^2=27/4 \end{eqnarray*}$

Ja, also da brauchts noch die Wurzel um a zu bestimmen. Aber dann sind wir fertig
(vllt noch mit der dritten Ableitung überprüfen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

).

20.10.2012, 11:29

Vinicius7

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Das Ergebnis ist ungefähr 2,6 Freude

Freude

Damit wäre Aufgabe 1 geschafft!

Allerdings ist die zweite nicht besser.
$\begin{eqnarray*} fb(x)=1/2x^3-bx \end{eqnarray*}$
2a) Welche Bedingungen muss der Parameter erfüllen, damit fb genau zwei lokale Extremstellen besitzt?

Wieder fehlt mir der Ansatz.

20.10.2012, 11:33

Equester

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Zur alten Aufgabe...beachte, dass du zwei Ergebnisse für a erhälst.
Beim Wurzelziehen kommen zwei Lösungen zustande! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zur zweiten Aufgabe...fangen wir wieder von vorne an -> Was für eine
Bedingung muss für eine Extremstelle gelten? Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.10.2012, 12:07

Vinicius7

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1c) a =+-2,6 Zunge

Zunge

2a) ist auch gelöst. Man muss die 1. Ableitung gleich Null setzen und kommt dann auf x1,2=+-wurzel aus 2/3b(gibt es hier auch ein wurzelzeichen? hab noch keins entdeckt)

b) Bestimme die Art der lokalen Maxima und die Koordinaten der Extrempunkte in Abhängigkeit von b.

Da muss man dann noch die hinreichende Bedingung machen(f''(x)<>0) und erfährt damit die Art der Extrema. Für die Koordinaten muss man das Ergebnis aus a) in die Ursprungsfunktion einstetzen:
$\begin{eqnarray*} fb(\sqrt{(2/3b)})=1/2*(\sqrt{(2/3b)})^3-b*\sqrt{(2/3b)} \end{eqnarray*}$

Aber wie fasst man das zusammen? Wenn man (Wurzel(2/3b))^3 rechnet, kommt dann da (2/3b)^2 raus?

Edit Equester: LatexWurzeln eingefügt

20.10.2012, 12:28

Equester

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1c) passt nun Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Das Wurzelzeichen schreibt man mittels \sqrt{}

2a) Ja, das ist allerdings nur der Ansatz. Was muss für b nun gelten? Du brauchst
2 Ergebnisse! Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

2b) Guck ich mir gleich an, wenn du die a gemacht hast Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Kurz essen.

20.10.2012, 12:39

Vinicius7

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b > 0
Wenn b = 0 wäre, gäbe es nur eine Lösung.
Wenn b < 0 wäre, keine.

Und was ist das 2. Ergebnis?

20.10.2012, 13:12

Equester

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Zur 2a). Genau dass meinte ich. Mit b>0 hast du zwei Ergebnisse, während du mit
b=0 und b<0 nur ein oder kein Ergebnis hast.

Zur 2b) $\begin{eqnarray*} \sqrt{a}^3=\sqrt{a}^2*\sqrt{a}=a*\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.10.2012, 13:38

Vinicius7

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$\begin{eqnarray*} fb(\sqrt{2/3b}=1/2*(\sqrt{2/3b})^3-b\sqrt{2/3} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 1/2*2/3b*\sqrt{2/3b}-b\sqrt{2/3} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 1/2*2/3b-b\sqrt{2/3} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 1/3b-b\sqrt{2/3} \end{eqnarray*}$

Das bekomm ich da raus.

20.10.2012, 13:48

Equester

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$\begin{eqnarray*} 1/2*2/3b*\color{red}\sqrt{2/3b}\color{black}-b\sqrt{2/3} \end{eqnarray*}$

Ui, ein Harry Potter Big Laugh

Big Laugh

.
Wo ist der rote Teil in der nächsten Zeile hin?^^

20.10.2012, 13:53

Vinicius7

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Ich glaub, da hatte ich einen Logikfehler, aber ich komm trotzdem nicht weiter. Die ersten beiden kann ich ja zusammenrechen und komme dann auf das:
$\begin{eqnarray*} 1/3b*\sqrt{2/3b}-b\sqrt{2/3} \end{eqnarray*}$
Aber was dann?

20.10.2012, 14:00

Equester

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Das kann man in deinem Falle in der Tat nicht mehr vereinfachen.
Allerdings hast du mittlerweile das b in der letzten Wurzel verloren.
Nehmen wir die wieder dazu, haben wir

$\begin{eqnarray*} -2/3b\sqrt{2/3b} \end{eqnarray*}$

Das ist also unser y-Wert. Den x-Wert haben wir auch schon

Wir müssen ja aber noch eine Aussage darüber treffen, welcher Extremwert vorliegt Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

20.10.2012, 14:09

Vinicius7

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Das b in der letzten Wurzel habe ich schon beim Einsetzen vergessen Finger1

Finger1

Ich versteh aber nicht, wie du auf $\begin{eqnarray*} -2/3b\sqrt{2/3b} \end{eqnarray*}$ gekommen bist verwirrt

verwirrt

20.10.2012, 14:14

Equester

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Die Wurzel ist ja dieselbe. Klammere diese mal für einen Moment aus.
Dann hast du nur noch 1/3b-b -> -2/3b Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Du kannst mir folgen?

20.10.2012, 14:32

Vinicius7

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$\begin{eqnarray*} (1/3b-b)*\sqrt{2/3b} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2/3b\sqrt{2/3b} \end{eqnarray*}$

Ja, das verstehe ich, wenn man die Wurzel vorher ausklammert.

20.10.2012, 14:36

Equester

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Das ist nur eine Hilfestellung.
Oder machst du das auch bei 1/3x-x?
Hier ists halt nicht x, sondern die Wurzel, ok? Augenzwinkern

Augenzwinkern

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