Verschoben! Binomialkoeffizienten

19.10.2012, 19:26

Mixer007

Binomialkoeffizienten

Hallo Liebe Community,

ich beschäftige mich gerade mit Binomialkoeffizienten und kann eine Aussage nicht beweisen. Die Aussage lautet:

(n,j)+(n,j-1) = (n+1,j)

das sind die Binomialkoeffizienten, ich weiß nicht wie man die mit dem Formeleditor schreiben soll. Also ich hab versucht das mit einem Hauptnenner rauszukriegen, aber es klappt nicht ich find irgendwie keinen.
also ich setz die Definition der Fakultät an.

n!/(j! *(n-j)! ) + ( n!) / ( ( j-1)!)( n- (j-1)! )

so nun kann man ja (j-1)! auch so schreiben j! (j-1), wobei man hier ja dann den ersten Summand mit (j-1) erweitern könnte. Nur bei (n-j)! und ( n-(j-1) ! weiß ich jetzt nicht wie man das anders schreiben könnte damit es aufgeht. Kann mir da bitte wer helfen

19.10.2012, 19:30

Leopold

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Deine Klammersetzung beim zweiten Summanden ist Murks. Deshalb klappt es nicht. Und dann ist auch deine Rekursionsformel falsch. Richtig ist

$\begin{eqnarray*} 7! = 7 \cdot \underbrace{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}_{6!} = 7 \cdot 6! \end{eqnarray*}$

allgemein:

$\begin{eqnarray*} n! = n \cdot (n-1)! \end{eqnarray*}$

19.10.2012, 19:38

riwe

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RE: Binomialkoeffizienten
bringe das zeug einfach auf gemeinsamen nenner Augenzwinkern

19.10.2012, 19:44

Mixer007

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RE: Binomialkoeffizienten
versuch ich doch gerad , aber es klappt net Big Laugh

19.10.2012, 19:47

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
Deine Klammersetzung beim zweiten Summanden ist Murks. Deshalb klappt es nicht.

19.10.2012, 19:51

Mixer007

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RE: Binomialkoeffizienten
also nochmal von vorne:

$\begin{eqnarray*} n! / j! (n-j) ! + n! / (j-1)! * (n-(j-1) )! \end{eqnarray*}$

so oder wie und wie mach ich dann weiter?

19.10.2012, 19:58

Leopold

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Jetzt sind alte Klammerfehler weg, dafür neue dazugekommen. Die Klammern um die gesamten Nenner mußt du lassen, sonst wird es falsch. Besser ist es jedoch, du schreibst das mit Brüchen. Dann kannst du auf diese äußeren Klammern verzichten. Also so

$\begin{eqnarray*} {n \choose j} + {n \choose {j-1}} = \frac{n!}{j! \cdot (n-j)!} + \frac{n!}{(j-1)! \cdot (n-(j-1))!} \end{eqnarray*}$

Löse zunächst bei $\begin{eqnarray*} n - (j-1) \end{eqnarray*}$ die Klammern auf und beachte:

$\begin{eqnarray*} j! = j \cdot (j-1)! \, , \ \ (n-j+1)! = (n-j+1) \cdot \text{???} \end{eqnarray*}$

Bestimme dann einen möglichst einfachen gemeinsamen Nenner der beiden Brüche.

19.10.2012, 20:24

Mixer007

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als ich weiß es nicht, das liegt vielleicht daran, dass ich erst heut die Definiton überhaupt kennengelernt habe.

Also ich setz das jetzt einfach ein : (n-j+1)! = ( n-j+1 ) *(n-j)! so?

$\begin{eqnarray*} n! / (j! (j-1) *(n-j!) ) + n! / ( (j-1)! (n-j+1) *(n-j) !) \end{eqnarray*}$

wobie ich hier einen gemeinen Nenner finden kann. Stimmt das so wie ich gerechnet hab?

19.10.2012, 20:57

Leopold

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Das stimmt nicht. Wo kommt denn das $\begin{eqnarray*} j-1 \end{eqnarray*}$ im ersten Bruch auf einmal her?

$\begin{eqnarray*} \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \ \ \cdot \ \ 2 \cdot 1} + \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \ \ \cdot \ \ 3 \cdot 2 \cdot 1} \end{eqnarray*}$

So sieht das im Fall $\begin{eqnarray*} n=6, j=4 \end{eqnarray*}$ aus. Wenn du den ersten Bruch mit $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ erweiterst (hintere Faktoren) und den zweiten mit $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ (vordere Faktoren), dann hast du einen gemeinsamen Nenner.

19.10.2012, 21:15

Mixer007

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das verstehe ich nicht ganz

19.10.2012, 21:18

Leopold

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Entschuldige die klare Ansage - aber das ist Bruchrechnen Klasse 6!
Ich glaube, im Moment siehst du den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr.

Brüche kann man nur addieren, wenn sie denselben Nenner haben. Und wenn das nicht der Fall ist, dann muß man sie gleichnamig machen, also jeden passend so erweitern, daß sie einen gemeinsamen Nenner haben.

19.10.2012, 21:40

Mixer007

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Ich glaub ich habs jetzt:

also:

$\begin{eqnarray*} n! /j! ( n-j)! + n! / (j-1)! *( n-(j-1))! \end{eqnarray*}$

undl $\begin{eqnarray*} j!= j*(j-1)! und ( n-(j-1)!) = (n-j+1) *(n-j)! \end{eqnarray*}$

so das setz dann ein und bekomme :

$\begin{eqnarray*} n!/ ( j*(j-1)!*(n-j)! + n! / (j-1)! *(n-j+1)*(n-j) !<br /> <br /> \end{eqnarray*}$
ich erweitere jetzt den zweiten Summand mit j und den ersten mit ( n-j+1) und bekomme :.

$\begin{eqnarray*} n! ( j+(n-j+1) / j*(j-1)! (n-j)!*(n-j+1)<br /> \end{eqnarray*}$
so und übrig bleibt dann: n!(n+1) / j*(j-1)! *(n+1-j), womit ich es eigentlich schon hab. Stimmt das? Ich hab halt wegen der Schnelle nicht überall klammern gesetzt.

Ich find das trotzdem schwer, klar man wendet hier Bruchregeln an, aber mit Binomialkoeffizienten ist es schon schwierig, v.a wenn man da noch nicht so viel Übung drinne hat.

19.10.2012, 21:47

Leopold

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Das Prinzip stimmt. Allerdings steht das Ausrufezeichen manchmal an der falschen Klammerstelle, und auch die Nenner sind nicht geklammert. Beachte, daß man $\begin{eqnarray*} a/b \cdot c \end{eqnarray*}$ in der Mathematik so liest: $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \cdot c \end{eqnarray*}$ .

Wenn man dagegen $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b \cdot c} \end{eqnarray*}$ sagen will, muß man es ohne Verwendung eines Bruchstrichs so schreiben: $\begin{eqnarray*} a/(b \cdot c) \end{eqnarray*}$ .

19.10.2012, 21:50

Mixer007

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schööön, danke für deine hilfe Big Laugh

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