Beweis mittels Körperaxiome

19.10.2012, 20:08

hollisch

Beweis mittels Körperaxiome

Meine Frage:
also...ich soll beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{b}{a}=ba^{-1} \end{eqnarray*}$

Ich habe in einer vorangehenden Aufgabe gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \exists!x\in \mathbb{R}: ax=b \end{eqnarray*}$ und zwar nach (unserem) 6. Körperaxiom gilt $\begin{eqnarray*} ay=1 \end{eqnarray*}$ . Setze $\begin{eqnarray*} x:=yb \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} ax=a(yb)=(ay)b=1b=b \end{eqnarray*}$ . Danach noch kurz die Eindeutigkeit zeigen und gut ist.
In der Aufgabe stand am Ende noch, dass man $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ schreibt als $\begin{eqnarray*} \frac{b}{a} \end{eqnarray*}$ insbesondere schreibt man das Reziprok als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$ oder manchmal als $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$

nun meine Frage: was soll ich überhaupt noch beweisen, wenn es doch eher um eine Definition geht?

Meine Ideen:
ich hab's trotzdem mal versucht:
$\begin{eqnarray*} \frac{b}{a}=\frac{b}{a}\cdot 1 = \frac{b}{a} \cdot (a\cdot a^{-1}) \end{eqnarray*}$
Jetzt würd ich gern den Bruch aufsplitten, aber dafür müsste ich ja jetzt die Definition benutzen, oder geht's auf nem anderen Weg?

Danke vorab smile