Inseparabilität zeigen

20.10.2012, 00:20

Gast11022013

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Inseparabilität zeigen

Meine Frage:
Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \ell_{\infty}=\left\{x=(x_i)\in\mathbb{K}^{\mathbb{N}}:\lVert x\rVert_{\infty}:=\sup\limits_{i\in\mathbb{N}}\lvert x_i\rvert<\infty\right\} \end{eqnarray*}$ inseperabel ist.

Meine Ideen:
Moin, ich würde den Beweis so machen:

Betrachte $\begin{eqnarray*} M=\left\{0,1\right\}^{\mathbb{N}}=\left\{x=(x_i)_{i=1}^{\infty}:x_i=0\vee x_i=1\right\} \end{eqnarray*}$ .

Es gilt:

1.) $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist überabzählbar.

Das würde ich so begründen, dass ja u.a die abzählbar unendliche Menge der Einheitsfolgen Teilmenge von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist. Und weil $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eben noch viel mehr Elemente als die Einheitsfolgen enthält, ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ überabzählbar.

2.) $\begin{eqnarray*} M\subset\ell_{\infty} \end{eqnarray*}$ .

Denn sei $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} \sup\limits_{i\in\mathbb{N}}\lvert x_i\rvert=1<\infty\vee \sup\limits_{i\in\mathbb{N}}\lvert x_i\rvert=0<\infty \end{eqnarray*}$ und somit in beiden Fällen $\begin{eqnarray*} x\in\ell_{\infty} \end{eqnarray*}$ .

Nimm' nun eine Menge $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ her, die dicht in $\begin{eqnarray*} \ell_{\infty} \end{eqnarray*}$ sei.

Dann folgt aus der Definition von Dichtheit:

$\begin{eqnarray*} \forall~x\in M~\exists~y_x\in N: \lVert x-y_x\rVert<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Betrachte nun zwei verschiedene Elemente aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x,x'\in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\neq x' \end{eqnarray*}$ .

Ich will jetzt zeigen, dass dann $\begin{eqnarray*} y_x\neq y_{x'} \end{eqnarray*}$ gilt, das heißt, dass N nicht abzählbar sein kann.

Seien also, wie gesagt, $\begin{eqnarray*} x,x'\in M, x\neq x' \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es mindestens ein $\begin{eqnarray*} i\in\mathbb{N}: x_i\neq x_i' \end{eqnarray*}$ (also $\begin{eqnarray*} x_i=0, x_i'=1 \end{eqnarray*}$ oder umgekehrt, ich nehme hier mal o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} x_i=0, x_i'=1 \end{eqnarray*}$ )).

Dann folgt doch aber:

$\begin{eqnarray*} \lvert (y_x)_i\rvert <\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

(in Worten: "Das i-te Glied der Folge $\begin{eqnarray*} y_x \end{eqnarray*}$ muss betragsmäßig kleiner sein als 1/2")

sowie

$\begin{eqnarray*} \lvert (y_{x'})_i\rvert >\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Also $\begin{eqnarray*} y_x\neq y_{x'} \end{eqnarray*}$ .

Und damit kann N eben nicht abzählbar sein.

----

Ist der Beweis okay und abgabewürdig?

Viele Grüße,
Dennis

20.10.2012, 00:42

gonnabphd

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Hi,

2.) ist o.k., aber in 1.) zeigst du nicht mal annähernd, dass M überabzählbar ist...

Zitat:

1.) $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist überabzählbar.

Das würde ich so begründen, dass ja u.a die abzählbar unendliche Menge der Einheitsfolgen Teilmenge von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist. Und weil $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eben noch viel mehr Elemente als die Einheitsfolgen enthält, ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ überabzählbar.

Wen soll denn diese Feststellung überzeugen? Nur weil's noch mehr gibt als eine gegebene abzählbare Teilmenge, heisst das ja erstmal nichts. Oder ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ deiner Meinung nach auch überabzählbar, weil es die ganzen Zahlen darin gibt, und dann noch viele, viele Zahlen mehr?

Tipp: Eine Teilmenge A der natürlichen Zahlen kann man anschauen als diejenige Folge $\begin{eqnarray*} a_i\in M \end{eqnarray*}$ , für welche gilt $\begin{eqnarray*} a_i = 1 \iff i \in A \end{eqnarray*}$ .

20.10.2012, 10:21

Gast11022013

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Also, was ich zeigen muss, ist ja, dass M mehr Elemente besitzt als $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , richtig?

Ich versuche, Deinen Tipp zu verstehen:

Wenn man jetzt jeder natürlichen Zahl eine Folge aus M zuordnet, deren i-tes Folgenglied 1 ist, so kann man daran sehen, dass M mehr Elemente als $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ hat? Auch, wenn ich Gefahr laufe, wieder die gleiche Formulierung zu benutzen: Es gibt eben mehr Folgen in M als die Folgen, die man dann den natürlichen Zahlen zugeordnet hat.

So?

20.10.2012, 10:42

RavenOnJ

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Betrachte doch folgende Teilmenge von $\begin{align*} l_\infty \end{align*}$ :
$\begin{eqnarray*} x_A := \{x = (x_i) \in \mathbb{K}^{\mathbb{N}}, A \subset \mathbb{N}:\forall i \in A: x_i = 1, \text{ sonst } x_i = 0\} \end{eqnarray*}$
Die Potenzmenge, dh. die Menge aller Teilmengen, von $\begin{align*} \mathbb{N} \end{align*}$ ist überabzählbar (das musst du wohl nicht beweisen müssen, falls doch: Cantor'sches Diagonalverfahren). Der Abstand zweier Folgen $\begin{align*} x_A \text{ und } x_{A'} \end{align*}$ ist 1. Damit kann diese Menge nicht dicht liegen in $\begin{align*} l_\infty \end{align*}$ und ist überabzählbar. Also kann $\begin{align*} l_\infty \end{align*}$ nicht separabel sein.

Gruß
Peter

20.10.2012, 10:51

IfindU

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Als kleiner Hinweis - alle anderen l^p Räume sind separabel. Mit "mehr" wirst du also kaum weiter kommen. Es ist nicht so sehr die Anzahl der Folgen in l^\infty, es ist die strikte Norm, die Umgebungen so unfassbar gemein definiert, dass man mit nur abzählbar vielen Punkten nie überall "nahe" dran sein kann. Was bei allen anderen l^p Räumen nämlich "nah an der Folge" heißt, muss nicht "nah" an der Folge sein, wenn man die Norm ändert.

Währned ich das geschrieben hat, hat Raven einen Lösungsvorschlag abgegeben. Ich lasse meins dennoch hier als Motivation - oder so Big Laugh

Big Laugh

[ Die kleinen l^p Räume sind die großen L^p-Räiume mit Zählmaß. Betrachtet man die üblichen L^p-Räume als analogon gilt für $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ offen, endlich, dass $\begin{eqnarray*} L^p(\Omega) \supset L^\infty(\Omega) \end{eqnarray*}$ , und während die linken Räume für $\begin{eqnarray*} p < \infty \end{eqnarray*}$ eine abzählbare Teilmenge dicht liegen haben, und obwohl $\begin{eqnarray*} L^\infty \end{eqnarray*}$ eine echte Teilmenge von ihnen allen ist, ist der Raum selbst inseparabel.]

20.10.2012, 10:54

Gast11022013

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Ich möchte einfach gerne zeigen, dass meine Menge M überabzählbar ist, aber scheitere daran. Wenn ich das gezeigt habe, müsste doch "mein" Beweis auch gehen?

Ich fasse es gerade nicht, dass ich zu blöd bin zu zeigen, dass M überabzählbar ist... unglücklich

unglücklich

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20.10.2012, 11:03

RavenOnJ

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Das geht auch mit dem Cantor'schen Diagonalverfahren. Falls du den Trick nicht kennst: Annahme, die Menge M sei abzählbar. Daraus folgt, man kann alle diese {0,1}-Folgen untereinander schreiben. Jetzt kann man zeigen, dass man eine Folge aus der Menge konstruieren kann, die nicht in dieser Aufzählung vorkommt und zwar indem man von allen Folgen dieser Liste die Zahl auf der Diagonale nimmt und sie invertiert. Dadurch kann sie nicht in der Aufzählung vorkommen, gehört aber trotzdem zur Menge M.

Gruß
Peter

20.10.2012, 11:08

Auli

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Hallo,
zu dem Rest deines Beweises kann ich nichts sagen, aber wenn du zeigen möchtest dass die Folgen, die nur aus und 1 bestehen überabzählbar sind, kannst du benutzen, dass es eine Bijektion von eben genannten in $\begin{eqnarray*} [0,1] \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gibt. (Stichwort, eindeutige dyadische Entwicklung smile

smile

)

20.10.2012, 11:17

RavenOnJ

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Damit wandelst du das in das Problem um, zu beweisen, dass $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ oder auch nur das Intervall $\begin{align*} \left[0,1\right] \end{align*}$ überabzählbar ist. Das geht ganz analog. Die Frage ist, was man voraussetzen darf und was man beweisen muss.

Gruß
Peter

20.10.2012, 11:22

Auli

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Naja, im Normalfall handelt man das doch im ersten Semester ab. Folgenräume sind normalerweise Gegenstand weiterführender Vorlesungen. Man muss das Rad ja nicht jedes Mal neu erfinden, mein "Beweis" ist halt ein Verweis auf schon gelerntes, was man hoffentlich Anwenden darf.

20.10.2012, 11:24

Gast11022013

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Ich halte mich jetzt doch erstmal an Ravens Beweisidee.

Also was mir klar ist, ist Folgendes:

$\begin{eqnarray*} x_A\subset\ell_{\infty} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_A \end{eqnarray*}$ überabzählbar

und $\begin{eqnarray*} x_A\neq x_{A'} \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} \lVert x_A-x_{A'}\rVert_{\infty}=1 \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt $\begin{eqnarray*} \forall x\in \ell_{\infty} \end{eqnarray*}$ (also auch für alle $\begin{eqnarray*} x\in x_A \end{eqnarray*}$ gibt es kein $\begin{eqnarray*} y\in x_A \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \lVert x-y\rVert_{\infty} \end{eqnarray*}$ unter jedes beliebige Epsilon zu kriegen ist. Okay, also ist $\begin{eqnarray*} x_A \end{eqnarray*}$ nicht dicht in $\begin{eqnarray*} \ell_{\infty} \end{eqnarray*}$

Was mir noch unklar ist:

Wie folgt daraus jetzt, dass $\begin{eqnarray*} \ell_{\infty} \end{eqnarray*}$ inseperabel ist, dass es also keine abzählbar dichte Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \ell_{\infty} \end{eqnarray*}$ gibt?

20.10.2012, 11:29

RavenOnJ

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wenn es eine überabzählbare Teilmenge gibt, die nicht dicht liegt, wie soll es dann eine abzählbare TM geben, die dicht liegt?

Edit: Aussage ist leider falsch, s.u.

Gruß
Peter

20.10.2012, 11:31

IfindU

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@Raven
$\begin{eqnarray*} \{ x \in \mathbb R, x > 0\} \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ , überabzählbar, nicht dicht, aber die reellen Zahlen sind separabel.

20.10.2012, 11:36

RavenOnJ

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Zitat:

Original von IfindU
@Raven
$\begin{eqnarray*} \{ x \in \mathbb R, x > 0\} \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ , überabzählbar, nicht dicht, aber die reellen Zahlen sind separabel.

da hast du recht, muss meine Argumente offenbar verfeinern und ziehe meinen vorigen Beitrag zurück.

20.10.2012, 11:45

Gast11022013

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Kann man wieder so argumentieren, dass man sagt:

$\begin{eqnarray*} x_A \end{eqnarray*}$ ist also eine überabzählbare Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \ell_{\infty} \end{eqnarray*}$ .

Angenommen, man habe jetzt eine dichte Teilmenge $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \ell_{\infty} \end{eqnarray*}$ .

Dann gibt es für jedes $\begin{eqnarray*} x\in x_A \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} y_x \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ sodass

$\begin{eqnarray*} \lVert x-y_x\rVert<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Wenn man jetzt zwei verschiedene Elemente aus $\begin{eqnarray*} x_A \end{eqnarray*}$ hernimmt, also zwei Folgen $\begin{eqnarray*} z, w \end{eqnarray*}$ , dann unterscheiden sich diese Folgen ja mindestens in einem Folgenglied, also $\begin{eqnarray*} \exists i\in\mathbb{N}: z_i\neq w_i \end{eqnarray*}$ . Bei der einen Folge steht also z.B. eine 1, bei der anderen Folge eine 0 (oder umgekehrt).

Dann muss bei dem einen zugehörigen $\begin{eqnarray*} y_z \end{eqnarray*}$ an der i-ten Stelle ein Wert stehen, der betragsmäßig größer als 0,5 ist, bei dem zugehörigen $\begin{eqnarray*} y_w \end{eqnarray*}$ ein Wert, der betragsmäßig kleiner als 0,5 ist.

Mit anderen Worten: $\begin{eqnarray*} y_z\neq y_w \end{eqnarray*}$ .

Und deswegen kann N nicht abzählbar sein.

Und deswegen gibt es also keine abzählbare dichte Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \ell_{\infty} \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \ell_{\infty} \end{eqnarray*}$ ist inseperabel?

20.10.2012, 13:13

RavenOnJ

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Meine Definition von $\begin{align*} x_A \end{align*}$ war nicht ganz sauber. Das sollte nur die eine Folge sein, für die gilt $\begin{align*} x_A = (x_i) \in \mathbb{K}^{\mathbb{N}}, A \subset \mathbb{N},\forall i \in A: x_i = 1, \text{ sonst } x_i = 0 \end{align*}$ , also für eine bestimmte Teilmenge $\begin{align*} A \subset \mathbb{N} \end{align*}$ . Überabzählbar ist also $\begin{align*} M = \{x_A: A \subset \mathbb{N} \} \end{align*}$

Du bist auf dem richtigen Weg. Ich will das, was du geschrieben hast, etwas umformulieren.

Ich nenne deine dichte Teilmenge mal um in $\begin{align*} Y \end{align*}$ , da N schon besetzt ist. Zu jedem $\begin{align*} x_A \in M \end{align*}$ gibt es ein $\begin{align*} y \in Y \end{align*}$ mit $\begin{align*} \|x_A-y\| < 1/2 \end{align*}$ . Ein solches y muss aber zu allen anderen $\begin{align*} x_{A'}\in M\setminus \{x_A\} \end{align*}$ wegen der Dreiecksungleichung einen größeren Abstand als 1/2 haben, da alle Folgen aus $\begin{align*} M \end{align*}$ einen Abstand 1 zueinander haben. Zu einer anderen Folge $\begin{align*} x_{A^{'}} \end{align*}$ muss es also ein von $\begin{align*} y \end{align*}$ verschiedenes $\begin{align*} y' \end{align*}$ geben mit $\begin{align*} \|x_{A^{'}}-y'\| < 1/2 \end{align*}$ . Die Mächtigkeit von $\begin{align*} Y \end{align*}$ muss also mindestens so groß sein wie die von $\begin{align*} M \end{align*}$ , d.h. $\begin{align*} Y \end{align*}$ muss überabzählbar sein.

Gruß
Peter

20.10.2012, 14:56

Gast11022013

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Super, vielen Dank, jetzt habe ich den Beweis verstanden!

Danke an die Helfer dieses Threads. Gott

Gott

Und sorry an gonnaphd: Du hattest ja genau dieses vorgeschlagen, wie ich jetzt erst erkenne. Das war für mich leider einen (oder eher: viele) Schritte zu schnell.

PS. separat und nicht seperat; Titel geändert

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