BEWEIS: Dimension eines durch Vektorsystem aufgespannten Teilraums

06.02.2007, 12:02

Gast767

BEWEIS: Dimension eines durch Vektorsystem aufgespannten Teilraums

Hallo.
In der Nacharbeit meines Stoffes zur linearen ALgebra I bin ich auf einen Satz gestoßen. Unser Professor hat den Satz sehr kompliziert bewiesen. Sein Beweis geht über 3 Seiten Kleinschrift und besteht aus vielen Schritten mit Minoren und Spezialtricks. Daher habe ich versucht, es einfacher zu machen. Nun möchte ich wissen, ob der Beweis sauber ist:

SATZ:

Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -dimensionaler Vektorraum und $\begin{eqnarray*} P=lin\{ a_{1},...,a_{m}\} \end{eqnarray*}$ ein Teilraum. Fasst man das System $\begin{eqnarray*} (a_{1},...,a_{m}) \end{eqnarray*}$ als Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ auf, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} dim(P)=rang(A) \end{eqnarray*}$

BEWEIS:

Sei $\begin{eqnarray*} A=(a_{1},...,a_{m}) \end{eqnarray*}$ ein System von $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ Vektoren, $\begin{eqnarray*} r=rang(A) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} p=dim(P) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P=lin\{ a_{1},...,a_{m}\} \end{eqnarray*}$ der von ihnen aufgespannte Teilraum. Da $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ein Erzeugendsystem in $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ ist, gilt $\begin{eqnarray*} dim(P)\leq m \end{eqnarray*}$ und wir können mit Satz 5 sagen, dass es eine Basis enthält. Wir müssen also das größte linear unabhängige Teilsystem von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ finden. Die größte Zahl linear unabhängiger Vektoren in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist dann $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ . Es gilt:

Das System $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist linear unabhängig $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow\left(\sum_{i=1}^{m}\lambda_{i}a_{i}=0\Leftrightarrow\lambda_{1},...,\lambda_{m}=0\right) \end{eqnarray*}$ .
Fassen wir $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ als Matrix auf und $\begin{eqnarray*} \lambda=(\lambda_{1},...,\lambda_{m})^{T} \end{eqnarray*}$ , dann ist dies gleichbedeutend mit:
$\begin{eqnarray*} A\cdot\lambda=0 \end{eqnarray*}$ ist eindeutig lösbar. Da das ein homogenes LGS ist, existiert immer die Triviallösung, um lineare Unabhängigkeit zu erhalten, genügt es also, die Eindeutigkeit der Lösung zu fordern. Nach Satz 3. (Kronecker-Capelli) gilt: Im Falle r=m ist das LGS eindeutig lösbar, das System $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist linear unabhängig und $\begin{eqnarray*} p=m \end{eqnarray*}$ . Im Falle r<m sind $\begin{eqnarray*} m-r \end{eqnarray*}$ Werte von $\begin{eqnarray*} \lambda_{i_{1}},...,\lambda_{i_{m-r}} \end{eqnarray*}$ frei wählbar. Durch Entfernen der Vektoren $\begin{eqnarray*} a_{i_{1}},...,a_{i_{m-r}} \end{eqnarray*}$ erhält man nun ein System $\begin{eqnarray*} A' \end{eqnarray*}$ , dass das LGS eindeutig lösbar macht. Also sind $\begin{eqnarray*} m-(m-r)=r \end{eqnarray*}$ Vektoren von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.
In beiden Fällen gilt: $\begin{eqnarray*} p=r \end{eqnarray*}$ .

10.02.2007, 13:23

Gast767

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RE: BEWEIS: Dimension eines durch Vektorsystem aufgespannten Teilraums
Ich bitte nochmal darum, meine Frage zu kommentieren, da mir das Anliegen sehr wichtig ist. Vielleicht ist das ganze für Mathematiker etwas einfach oder unkorrekt (Physikstudium) aber ich bin auf eure Hinweise wirklich angewiesen. Danke schonmal im Vorraus.

13.02.2007, 13:20

kinski

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RE: BEWEIS: Dimension eines durch Vektorsystem aufgespannten Teilraums
was bedeutet $\begin{eqnarray*} P=lin\{a_1 ,...,a_m\} \end{eqnarray*}$ ???

14.02.2007, 10:17

Gast767

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RE: BEWEIS: Dimension eines durch Vektorsystem aufgespannten Teilraums
das gleiche wie $\begin{eqnarray*} P=span\{a_1 ,...,a_m\}\Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ Der Vektorraum P wird durch die Vektoren erzeugt.

14.02.2007, 10:55

Mazze

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Erstens wäre es schön was DU mit "Satz 5" meinst, ich nehme mal an Basisauswahlsatz? Zu Deinem Beweis:

Zitat:

Durch Entfernen der Vektoren $\begin{eqnarray*} a_{i_{1}},...,a_{i_{m-r}} \end{eqnarray*}$ erhält man nun ein System $\begin{eqnarray*} A' \end{eqnarray*}$ , dass das LGS eindeutig lösbar macht.

Was meinst Du denn damit? Das ist sehr umständlich geschrieben. Nach Basisauswahlsatz gibt es dieses A' das ist soweit richtig. Die Folgerung p = r für r < m solltest Du aber genauer aufschreiben, so wie es da steht sieht es fast so aus als hättest Du das was Du beweisen willst benutzt.

14.02.2007, 11:19

Gast767

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RE: BEWEIS: Dimension eines durch Vektorsystem aufgespannten Teilraums
Hallo und danke für deine Mühe, dir das mal durchzulesen.

Mit Satz 3 meinte ich den Basisauswahlsatz.

Würdest du sagen, dass abgesehen vom Fall r<m die vorherigen Beweisschritte korrekt sind?

Zitat:

Die Folgerung p = r für r < m solltest Du aber genauer aufschreiben

A' ist das Basissystem (soweit sind wir uns einig?) und entsteht durch das Entfernen von (m-r) Vektoren aus A (soweit auch, oder?) also hat es wie ich geschrieben habe m-(m-r)=r Vektoren und das ist damit die Dimension von P. An welchem Punkt liegt deiner Ansicht nach meine falsche Annahme?

Vielen Dank nochmal für deine Mühe.

14.02.2007, 19:55

Mazze

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Zitat:

und das ist damit die Dimension von P. An welchem Punkt liegt deiner Ansicht nach meine falsche Annahme?

Das ist die Dimension des Systems A', und Du sagst frei weg das ist gleich der Dimension von P = lin(A). Das ist doch das was Du zeigen willst Augenzwinkern

. Da musst Du schon mehr zu sagen.

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