Bonferroni-Ungleichung

20.10.2012, 02:39	sebolicious	Auf diesen Beitrag antworten »
Bonferroni-Ungleichung Hallo, ich sitze seit.. naja geraumer Zeit an folgendem Beispiel und komm einfach nicht drauf.. (komm mir schön langsam dumm vor ): Die Bonferroni'sche Ungleichung $\begin{eqnarray} P(\cap_{i=1}^{n} A_{i}) \geq \sum\limits_{i=1}^n P(A_{i}) -(n-1) \end{eqnarray}$ beweise man, indem man sie auf die Boole'sche Ungleichung( $\begin{eqnarray} P(\cup_{i=1}^{n} A_{i}) \leq \sum\limits_{i=1}^n P(A_{i}) \end{eqnarray}$ ) zurückführe. Ich habs mal so weit, dass ich den rechten Teil der Bonferroni'schen Ungleichung umgewandelt hab auf $\begin{eqnarray} 1-\sum\limits_{i=1}^n P(A_{i}') \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} A_{i}' \end{eqnarray}$ bezeichnet das Komplement). Auf einer Seite habe ich eine Art Anleitung dazu gefunden: Unter Beachtung der De'Morganschen Regeln ergibt sich der Beweis dann sofort, indem man in die Boole'sche Ungleichung $\begin{eqnarray} A_{i}' \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} A_{i} \end{eqnarray}$ einsetzt und die komplementäre Wahrscheinlichkeit bildet. Dann hab ich also: $\begin{eqnarray} P(\cup_{i=1}^{n} A_{i}') \leq \sum\limits_{i=1}^n P(A_{i}') \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P(\cap_{i=1}^{n} A_{i}) \geq 1-\sum\limits_{i=1}^n P(A_{i}') \end{eqnarray}$ Wenn ich nun von der Boole'schen Ungleichung das Komplement bilde komm ich auf $\begin{eqnarray} (P(\cup_{i=1}^{n} A_{i}'))' \geq (\sum\limits_{i=1}^n P(A_{i}'))' \end{eqnarray}$ (das Ungleichungszeichen müsste sich dadurch ja Umdrehen, denn 20 <= 21, aber 1/20 => 1/21) Das Komplement vom rechten Teil, also $\begin{eqnarray} (\sum\limits_{i=1}^n P(A_{i}'))' \end{eqnarray}$ ist meines Wissens $\begin{eqnarray} 1-\sum\limits_{i=1}^n P(A_{i}') \end{eqnarray}$ und wenn ich das Ganze zusammensetze komme ich auf das meiner Meinung nach nicht ganz Sinn ergebende Ergebnis: $\begin{eqnarray} P(\cap_{i=1}^{n} A_{i}) \geq 1-\sum\limits_{i=1}^n P(A_{i}') \leq (P(\cup_{i=1}^{n} A_{i}'))' \end{eqnarray}$ wenn ich mich nicht ganz irre, ergeben der linke und der rechte Teil (abgesehen von den kleiner/größer) eine Version der De'Morgan'schen Formel, was wiederum dem darauf bezogenen Teil der Anleitung Sinn geben würde, allerdings kann das doch so nicht richtig sein. Könnte mir jemand weiterhelfen? Danke im Voraus

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