volle Induktion

20.10.2012, 14:10

akamanston

volle Induktion

hi,
ich hab hier ein gewaltiges problem beim beweisen dieses produkts

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^(n-1) (1+1/k)^k = n^n / n! \end{eqnarray*}$

für n>=2

SUMME SOLL PRODUKT SEIN.

edit. grr. über dem zeichen soll n-1 stehen.
induktionsanfang ist jeweils 2. das ist kein problem.
aber wie geht es bei der voraussetzung weiter, ich weiß nicht wie ich die "n-1" handhaben soll. bisher stand dort immer n, damit konnte ich arbeiten=)

20.10.2012, 14:22

Causal

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RE: volle Induktion
Hi,

wenn die die $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ stören, dann verschiebe doch den Index, so dass dann oben $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ steht.

Ich schreibe mal deine Summe korrekt auf:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n-1} \left(1 + \frac{1}{k}\right)^{k} = \frac{n^n}{n!} \end{eqnarray*}$

Gruß, Causal

20.10.2012, 14:43

akamanston

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RE: volle Induktion

Zitat:

Original von Causal
Hi,

wenn die die $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ stören, dann verschiebe doch den Index, so dass dann oben $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ steht.

Ich schreibe mal deine Summe korrekt auf:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n-1} \left(1 + \frac{1}{k}\right)^{k} = \frac{n^n}{n!} \end{eqnarray*}$

Gruß, Causal

ok, danke schon mal das es (fast) richtig da steht. es MUSS ein produkt (anstatt summe) sein. wie verschiebe ich denn den index? ich hab das in wiki schon mal angeschaut, aber irgendwie ist es in meinem beispiel ganz komisch verdreht^^

20.10.2012, 14:51

Causal

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RE: volle Induktion

Zitat:

Original von akamanston

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^{n-1} \left(1 + \frac{1}{k}\right)^{k} = \frac{n^n}{n!} \end{eqnarray*}$

20.10.2012, 14:56

Causal

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RE: volle Induktion
Übrigens brauchst du da keine Indexverschiebung.
Gilt diese Gleichheit nicht sowieso $\begin{eqnarray*} \forall n \geq 2 \end{eqnarray*}$ ?

20.10.2012, 14:57

akamanston

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RE: volle Induktion

Zitat:

Original von Causal
Übrigens brauchst du da keine Indexverschiebung.
Gilt diese Gleichheit nicht sowieso $\begin{eqnarray*} \forall n \geq 2 \end{eqnarray*}$ ?

wollte ich gerade schreiben, weil von indexverschiebung nicht die rede war, aber ich frage mich was ich aus dem n-1 mache.
weil das n wurde zu n+1,
wird das n-1 einfach >>> n+1?

20.10.2012, 15:00

Causal

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RE: volle Induktion
Wenn du vorher von $\begin{eqnarray*} n \mapsto n+1 \end{eqnarray*}$ , dann machst du jetzt halt $\begin{eqnarray*} n - 1 \mapsto n \end{eqnarray*}$ .

Gruß, Causal

20.10.2012, 15:02

akamanston

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RE: volle Induktion

Zitat:

Original von Causal
Wenn du vorher von $\begin{eqnarray*} n \mapsto n+1 \end{eqnarray*}$ , dann machst du jetzt halt $\begin{eqnarray*} n - 1 \mapsto n \end{eqnarray*}$ .

Gruß, Causal

aber die induktion gilt doch nur, wenn ich es für n+1 beweise.
muss ich erst von n-1 -->n und dann von n --> n+1 ?

20.10.2012, 15:06

Causal

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RE: volle Induktion
Du hast anscheinend das Prinzip nicht richtig verstanden.
Es ist völlig egal, on du $\begin{eqnarray*} n \mapsto n+1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} n-1 \mapsto n \end{eqnarray*}$ durchführst.
Belese dich bitte hier: Vollständige Induktion

Gruß, Causal

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