Infimum und Supremum einer Menge

20.10.2012, 14:28	kidz4869	Auf diesen Beitrag antworten »
Infimum und Supremum einer Menge Guten Tag, stehe vor folgender Aufgabenstellung: Betrachten Sie folgende Teilmengen der reelen Zahlen: A : = {x + 1/x \| 0,5 < x =< 2 } B : = {x ∈ R \| Es gibt ein y ∈ R mit (x+2)² + 4y² < 9 zu A: habe ich als erstes sowohl die 2 als auch die 0,5 in die Menge eingesetzt und es kommt bei beidem 2,5 heraus (wobei zu beachten ist, dass 0,5 nicht zum Intervall gehört) Als nächstes habe ich geprüft, ob es in der Menge in diesem Intervall keinen anderen Wert gibt , der 2,5 übersteigt. Dies tat ich folgendermaßen: x + 1/x >= 2,5. Als Ergebnis kommt raus: 1. x>=2 2. x=<0,5 , somit ist bewiesen: 2,5 ist die kleinste obere Schranke und somit unser Supremum, gleichzeitig aber auch unser Maximum, da es zur Menge gehört. Nun habe ich hier ein Problem. Ich weiß nicht, wie ich das Infimum errechnen kann. Durch ausprobieren und Funktionsplotter weiß ich, dass es bei x=1 liegt und den Wert 2 entspricht. Allerdings weiß ich nicht, wie ich das rechnerisch zeigen kann. zu B: hier würde ich y=0 setzen damit der 2.te Teil gleich 0 ist und würde dann schauen, welche Werte x annehmen kann, damit die Ungleichung erfüllt ist. Ist das die richtige Vorgehensweise? Wie schreibt man das auf? Studiere zur Zeit Mathe im ersten Semester und aus dem Grund freue ich mich auf jede Hilfe auch in Bezug auf die Schreibweise und Argumentation Danke im Vorraus!
20.10.2012, 14:40	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
was ist B? Schreib das mal bitte in Latex. Was sollst du mit diesen Mengen machen? Steht nicht in derAufgabenstellung. Gruß Peter
20.10.2012, 14:43	kidz4869	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} {x Element R \| Es gibt ein y Element R mit (x+2)² + 4y² < 9 \end{eqnarray}$
20.10.2012, 14:46	Mathesüchtiger	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} B: (x \in R \| Es gibt ein y \in R mit (x+2)² + 4y² < 9) \end{eqnarray}$ Bitteschön Abstände zw. Wörten ging irgendwie net, ich hoffe es ist dennoch klar, was gemeint ist :S Sorry habe das komplett vergessen^^ .
20.10.2012, 14:47	Causal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Infimum und Supremum einer Menge Hi, ich würde mich mal freuen, wenn ihr euch ein wenig mit Latex befassen würdet.. Wenn die Aufgaben sauber dargestellt werden, dann sind die Leute auch bereit euch zu helfen... Ich schreibe deine Mengen mal sauber auf: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> A := \{ x + \frac{1}{x} : \frac{1}{2} < x \leq 2 \} \\<br /> B := \{ x \in \mathbb{R} : \exists y \in \mathbb{R} : \left(x + 2 \right)^2 + 4y^2 < 9 \} <br /> <br /> \end{eqnarray}$
20.10.2012, 14:52	Mathesüchtiger	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schön Also die Aufgabenstellung lautet: Berechnen Sie Infimum und Supremum der Mengen A und B. Entscheiden Sie ob es sich dabei und ein Maximum oder Minimum handelt und berechnen Sie diese ggf
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20.10.2012, 14:55	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schreib es nochmal: $\begin{eqnarray} <br /> B := \{x\in \mathbb{R}\|\exists y\in\mathbb{R}{:} (x+2)^2 + 4y^2 <9\}<br /> \end{eqnarray}$ Edit: Hatte dein vorletztes Posting nicht gesehen, war gerade am Editieren Gruß Peter
20.10.2012, 15:11	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu A: Du könntest einfach die Funktion ableiten und feststellen, dass das Minimum in dem Intervall bei x = 1 liegt. Da das Minimum in der Menge A angenommen wird, ist es nicht nur das Infimum. Auch das Supremum 2,5 ist in A. Allerdings solltest du deine Begründung nochmal überdenken. zu B: Es muss gelten: $\begin{align} 0\leq 4y^2 <9 \end{align}$ , damit es für x eine reelle Lösung gibt. Daraus folgen dann die Bereichsgrenzen für x. Es ist noch zu begründen, warum die Grenzen nicht Maximum und Minimum der Menge B sind, sondern nur Supremum und Infimum. Gruß Peter

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