Problem mit Funktionen, die als Brüche dargestellt sind

Neue Frage »

20.10.2012, 14:35	Senzelezz	Auf diesen Beitrag antworten »
Problem mit Funktionen, die als Brüche dargestellt sind Ich hab seit jeher Probleme, wenn mir beispielsweise nachfolgende Aufgabe begegnet, da ich nicht weiß, wie ich mit dem Bruch umzugehen habe. Aufgabe: Gegeben ist $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{2x+2}{x+1} \end{eqnarray}$ a) Symmetrieeigenschaft untersuchen. b) Definitionsbereich bestimmen. c) Graphen skizzieren. a) Untersuche auf Achsensymmetrie: $\begin{eqnarray} f(x) = f(-x) <br /> <br /> \frac{2x+2}{x+1} = \frac{2 \cdot (-x) +2 }{-x + 1} \| \cdot 1<br /> <br /> \frac{2x + 2}{x} = \frac{-2x + 2}{-x} \| \cdot x<br /> <br /> 2x + 2 = \frac{-2x² + 2x}{-x²}<br /> \end{eqnarray}$ Damit komme ich nicht weiter. /b) $\begin{eqnarray} Definitionsmenge = \mathbb R \ \ \left\{ -1\right\} \end{eqnarray}$ Wie mache ich mit LaTex einen "\" ? Soll jedenfall heißen alle R außer -1. Ist das richtig? c) Zum Zeichnen müsste ich eine Wertetabelle anlegen, oder geht das auch anders?
20.10.2012, 15:04	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Die ersten beiden Zeilen sind ja noch richtig, aber wie kommst du darauf mit 1 zu multiplizieren? Du hast doch als Nenner x+1 bzw. -x+1. Wie soll da mit einer Multiplikation von 1 das +1 wegfallen . Einfacher tust du dir, wenn du erkennst: 2x+2=2(x+1) . b) ist richtig -> \backslash oder \setminus helfen dir . c) Nimm den Tipp von a wahr. Dann brauchst du keine Wertetabelle. Achte auf die Definitionslücke!
20.10.2012, 15:11	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Das "ohne" machst du mit "setminus" $\begin{eqnarray} \setminus \end{eqnarray}$ Der Definitionsbereich ist richtig. Bei der Bestimmung der Symmetrie hapert es jedoch. Zum einen untersuchst du bloß auf Achsensymmetrie. Du musst aber auch noch die Punktsymmetrie checken. $\begin{eqnarray} f(-x)=f(x) \rightarrow \text{Achsensymmetrie}<br /> <br /> f(-x)=-f(x)\rightarrow \text{Punktsymmetrie} \end{eqnarray}$ Deine Rechnung zur Achsensymmetrie ist nicht richtig. Du machst da auch zuviel des guten. Es reicht eigentlich aus in der Funktion für jedes x ein -x einzusetzen. Dann rechnest du einfach mal weiter und guckst, ob du es auf die gleiche Form wie f(x) bringen kannst. Wenn das nicht der Fall ist kannst du eine -1 ausklammern um die Punktsymmetrie zu prüfen. Sollten die Funktionen in beiden Fällen nicht wie f(x) bzw. -f(x) aussehen liegt keine Symmetrie vor. Um den Nenner eines Bruchs zu entfernen musst du übrigens mit diesem multiplizieren. Also (x+1) das ist hier jedoch unnötig. Edit: Da bin ich ja arg spät dran.
20.10.2012, 15:49	Senzelezz	Auf diesen Beitrag antworten »
Also noch mal zur Symmetrie: Achsensymmetrie: f(x) = f(-x) $\begin{eqnarray} \frac{2x+2}{x+1} = \frac{-2x+2}{-x+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{2(x+1)}{x+1} = \frac{2(-x+1)}{-x+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2 = 2 \end{eqnarray}$ --> somit achsensymmetrisch? Punktsymmetrie: -f(x) = f(-x) $\begin{eqnarray} \frac{-2x-2}{-x-1} = \frac{-2x+2}{-x+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{2(-x-1}{-x-1} = \frac{2(-x-1)}{-x+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2 = 2 \end{eqnarray}$ --> somit auch noch punnktsymmertrisch? Kann mir nicht vorstellen, das beides zutrifft.
20.10.2012, 15:58	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaub mir würde es reichen zu erkennen, dass es achsensymmetrisch ist. Da auch noch Punktsymmetrie zu zeigen...Außer y=0 fällt mir auch grad kein Polynom ein, was beides besitzt. Deine Untersuchung der Punktsymmetrie ist allerdings ohnehin falsch: $\begin{eqnarray} \frac{-2x-2}{-x-1} = \frac{-2x+2}{-x+1} \end{eqnarray}$ Richtig: $\begin{eqnarray} -\frac{2x+2}{x+1} = \frac{-2x+2}{-x+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{-(2x+2)}{x+1} = \frac{-2x+2}{-x+1} \end{eqnarray}$ Wie du siehst, kommt das Minus nicht in Zähler und Nenner, sondern nur in eins von beiden (salopp gesprochen).
20.10.2012, 16:53	Senzelezz	Auf diesen Beitrag antworten »
Würde mir auch reichen, wollte jedoch sicher gehen, dass ich beide Rechnungen beherrsche, was ja auch gut war. Somit weiß ich jetzt, dass das Minus nur in den Zähler kommt. Danke, damit ist auch dieses Thema abgehakt.
Anzeige

20.10.2012, 17:02	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du mir noch schnell sagst, wie deine Zeichnung aussieht . Da gibts noch eine Kleinigkeit, die es zu beachten gilt.
20.10.2012, 17:24	Senzelezz	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenartig... Also, wenn ich die Polynomdivision durchführe, erhalte ich 2 als Ergebnis. Das heißt, es ist eine Gerade ohne Steigung, Parallel zur X-Achse durch den Punkt y = 2. Die Definitionslücke müsste sich bei x = -1 befinden. Da es eine Gerade ist, ist die Lücke hebbar durch Punkt P(-1\|2) Nun wollte ich die Funktion zur Übung noch auf ihr Verhalten untersuchen, wenn sie gegen die Definitionslücke strebt und sie gegen + und - unendlich strebt, da kommt aber totaler Stuss raus?
20.10.2012, 17:34	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig ist, dass es sich um die Gerade y=2 handelt. Ebenfalls richtig hast du erkannt, dass wir eine hebbare Definitionslücke bei (-1\|2) haben. Zur Zeichnung -> Du malst einfach die Gerade hin und bei P malst du ein Kästchen hin. Das bedeutet für den Betrachter so viel, dass da eine Lücke ist . Eine Untersuchung des Verhaltens ist nicht nötig. Das Kästchen reicht aus. Eine "Polstelle" wie du sie wohl suchst, findest du hier ja nicht -> es ist ja eine hebbare Definitionslücke .

Neue Frage »

Antworten »

Problem mit Funktionen, die als Brüche dargestellt sind

Verwandte Themen