n verschiedene Einbettungen K -> C

20.10.2012, 15:50	Slash123	Auf diesen Beitrag antworten »
n verschiedene Einbettungen K -> C Hallo, auf folgendes bin ich gestoßen. Sei $\begin{eqnarray} K/\mathbb{Q} \end{eqnarray}$ eine algebraische Körpererweiterung und $\begin{eqnarray} [K:\mathbb{Q}] = n \end{eqnarray}$ . Dann gibt es $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ verschiedene Einbettungen $\begin{eqnarray} K \hookrightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray}$ . Warum ist das so? Hier ein paar meiner Ideen: Es gibt evtl. Einbettungen $\begin{eqnarray} K \hookrightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ und es gibt Einbettungen, in denen ein Element $\begin{eqnarray} x \in K \end{eqnarray}$ auf ein Element $\begin{eqnarray} x' \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R} \end{eqnarray}$ abgebildet werden. Letztere Einbettungen kommen immer in Paaren, da wenn $\begin{eqnarray} \iota \end{eqnarray}$ eine solche Einbettung ist, ist $\begin{eqnarray} \iota \circ \varphi \end{eqnarray}$ ebenfalls eine solche Einbettung, wobei $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ die komplexe Konjugation bezeichne. Gibt es also $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ Einbettungen der Form $\begin{eqnarray} K \hookrightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} l \end{eqnarray}$ Paare wie oben beschrieben, so muss $\begin{eqnarray} n = m+2l \end{eqnarray}$ gelten. Es gibt $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ verschiedene Einheitswurzeln. Gilt vielleicht, dass die Multiplikation mit einer Einheitswurzel wieder eine Einbettung ist? Das würde aber dem widersprechen, dass die komplexe Konjugation einer Einbettung wieder eine Einbettung ist, da ich nicht denke, dass "Multiplikation mit Einheitswurzel" einer "komplexen Konjugation" entspricht. Wenn die Aussage nicht so trivial ist, könnt ihr mir bei Bedarf auch eine Literaturstelle nennen, in der ich den Beweis finde. Habe das in einem Buch gelesen, ein Beweis wird allerdings nicht geliefert. Es steht auch nicht dabei, ob es sich um genau $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ verschiedene Einbettungen handelt oder nicht, ich gehe aber davon aus. Viele Grüße und danke im Voraus!
28.10.2012, 20:02	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du hast möglicherweise keine Antworten bekommen, weil dies keine Frage aus der Topologie ist, sondern aus der Algebra. Ich werde gleich verschieben... Diese Frage hat mit der Separabilität von Körpererweiterungen zu tun. $\begin{eqnarray} [L:K]_s :=\|\{ \varphi ~:~ L \to \overline{K} ~\|~ \varphi ~ K\text{-Algebrenhomomorphismus}\}\| \end{eqnarray}$ nennen wir den Separabilitätsgrad der Körpererweiterung $\begin{eqnarray} L/K \end{eqnarray}$ . Die fragliche Eigenschaft ist also $\begin{eqnarray} [K:\mathbb{Q}]=[K:\mathbb{Q}]_s \end{eqnarray}$ . Dies ist richtig, da jede endliche Erweiterung von $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ separabel ist. Dies liegt daran, dass $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ (und allgemeiner jeder Körper in Charakteristik 0 und auch jeder endliche Körper) ein perfekter Körper ist, also ein Körper mit genau dieser Eigenschaft. In der Tat liegen hier also $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ echt verschiedene Einbettungen vor. Diese gruppieren sich in der Tat zu reellen Einbettungen und Paaren komplexer Einbettungen. Hilft dir das schon weiter? Der Zusammenhang zwischen Separabilität (im Sinne von Minimalpolynomen) und der Anzahl der Einbettungen in einen algebraischen Abschluss findet sich in jedem Algebrabuch (z.B. Bosch). Edit: Vielleicht noch ein kleines Beispiel. Sei $\begin{eqnarray} K:=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} [K:\mathbb{Q}]=3 \end{eqnarray}$ und die drei Einbettungen sind $\begin{eqnarray} r ~:~ \mathbb{Q}\to \overline{\mathbb{Q}}, ~ \sqrt[3]{2} \mapsto \sqrt[3]{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s_1 ~:~ \mathbb{Q}\to \overline{\mathbb{Q}}, ~ \sqrt[3]{2} \mapsto \zeta_3\sqrt[3]{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s_2 ~:~ \mathbb{Q}\to \overline{\mathbb{Q}}, ~ \sqrt[3]{2} \mapsto \zeta_3^2\sqrt[3]{2} \end{eqnarray}$ Dabei sei $\begin{eqnarray} \zeta_3 \end{eqnarray}$ eine feste dritte Einheitswurzel. $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ ist die reelle Einbettung und die $\begin{eqnarray} s_i \end{eqnarray}$ sind das Paar komplexer Einbettungen.

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