Separabilität zeigen

20.10.2012, 14:22	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Separabilität zeigen Meine Frage: In einem anderen Thread habe ich jetzt bewiesen bekommen, dass $\begin{eqnarray} \ell_{\infty} \end{eqnarray}$ inseparabel ist. Nun muss ich noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} \ell_p, 1\leq p<\infty \end{eqnarray}$ separabel ist, dass also eine abzählbare dichte Teilmenge von $\begin{eqnarray} \ell_p \end{eqnarray}$ existiert. Wie kann man das angehen? (Mir fehlt schon ein Ansatz, um ehrlich zu sein.) Meine Ideen: noch keine, leider ________________________________________________________________________ Im Werner habe ich gelesen: Für einen normierten Raum X sind äquivalent: (i) X ist separabel (ii) Es gibt eine abzählbare Menge A, mit $\begin{eqnarray} X=\overline{\operatorname{lin}}A:=\overline{\operatorname{lin} A} \end{eqnarray}$ . (Hier soll $\begin{eqnarray} \operatorname{lin} A \end{eqnarray}$ die lineare Hülle von A sein und $\begin{eqnarray} \overline{\operatorname{lin}}A \end{eqnarray}$ die abgeschlossene lineare Hülle von A.) -----------Jetzt mal vorausgesetzt, ich darf diesen Satz anwenden, um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \ell_p \end{eqnarray}$ separabel ist.----- Dann habe ich weiter gelesen, dass $\begin{eqnarray} \ell_p=\overline{\operatorname{lin}} A \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A:=\left\{e_n:n\in\mathbb{N}\right\} \end{eqnarray}$ , wo $\begin{eqnarray} e_n \end{eqnarray}$ die n-te Einheitsfolge bezeichnet. Meine Frage ist: Wieso gilt diese Identität? Also die lineare Hülle von A lautet doch: $\begin{eqnarray} \operatorname{lin}A=\left\{\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_i~a_i\|\alpha_i\in\mathbb{K}, a_i\in A, n\in\mathbb{N}\right\} \end{eqnarray}$ Wie bildet man jetzt den Abschluss dieser Menge? Im Werner steht: "[...] wo der Abschluss natürlich bzgk. $\begin{eqnarray} \lVert\cdot\rVert_p \end{eqnarray}$ zu bilden ist." Was bedeutet das? ________________________________________________________________________ Sorry, dass ich noch einen Beitrag poste, aber ich glaube, ich habe schon eine Erklärung dafür gefunden, was hier unter dem Abschluss der linearen Hülle von A zu verstehen ist: Man schaut für ein $\begin{eqnarray} x\in\ell_p \end{eqnarray}$ , ob es irgendeine Folge in $\begin{eqnarray} \operatorname{lin}A \end{eqnarray}$ gibt, die gegen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ konvergiert (bzgl. $\begin{eqnarray} \lVert\cdot\rVert_p \end{eqnarray}$ ). Wenn ja, liegt $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ im Abschluss von $\begin{eqnarray} \operatorname{lin}A \end{eqnarray}$ . Sei also $\begin{eqnarray} x=(x_i)\in\ell_p \end{eqnarray}$ beliebig. Dann wähle die Folge $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ mit den Gliedern $\begin{eqnarray} a_n:=\sum\limits_{i=1}^{n}x_ie_i\in\operatorname{lin}A \end{eqnarray}$ . Dann hat man: $\begin{eqnarray} \lVert x-a_n\rVert_{p}=\left(\sum\limits_{i=n+1}^{\infty}\lvert x_i\rvert^p\right)^{\frac{1}{p}} \end{eqnarray}$ Kann man jetzt irgendwie zeigen, dass $\begin{eqnarray} \left(\sum\limits_{i=n+1}^{\infty}\lvert x_i\rvert^p\right)^{\frac{1}{p}}\to 0, n\to\infty \end{eqnarray}$ ? Es hat sicher mit Reihenkonvergenz zu tun, aber ich sehe es gerade schlichtweg nicht. Dann wäre gezeigt, dass es eben für jedes $\begin{eqnarray} x\in\ell_p \end{eqnarray}$ eine Folge in $\begin{eqnarray} \operatorname{lin}(A) \end{eqnarray}$ gibt, die gegen x konvergiert. Damit wäre also gezeigt, dass $\begin{eqnarray} \ell_p=\overline{\operatorname{lin}}A \end{eqnarray}$ . Edit: Ach, klar, die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^{\infty}\lvert x_i\rvert^p \end{eqnarray}$ konvergiert ja, dann muss ja der "Schwanz" der Reihe, also $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=n+1}^{\infty}\lvert x_i\rvert^p\to 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ . ________________________________________________________________________ Der obige Beweis sollte stimmen. Eine Frage: Kann man die Separabilität von $\begin{eqnarray} \ell_p \end{eqnarray}$ eigentlich auch ohne diesen Satz zeigen, also, wenn man nicht diese Dinge mit der linearen Hülle und deren Abschluss heranzieht? ________________________________________________________________________ edit von sulo: Vierfachpost zusammengefügt.
21.10.2012, 10:20	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
bestimmt kann man das, da es i.d.R. mehrere Wege zum Ziel gibt. Die Frage ist nur, wie elegant oder wie kurz der andere Beweis wäre. Gruß Peter
21.10.2012, 10:22	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das stimmt natürlich. Mein "Problem" ist, dass der von mir verwendete Satz bisher im Rahmen der Vorlesung nicht behandelt wurde. Aber vielleicht passiert das ja noch.
21.10.2012, 12:30	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, der Kern des obigen Satzes ist gerade die Richtung, dass aus (i) eben (ii) folgt. Die Umkehrung, die du ja brauchst, ist klar. Setze $\begin{eqnarray} M = lin(A) \end{eqnarray}$ , dann gilt $\begin{eqnarray} \overline{M} = X \end{eqnarray}$ , was die Definition der Separabilität zeigt. sprich du hast eine abzählbar dichte Teilmenge explizit angegeben. mfg
21.10.2012, 13:13	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Beweis ist also okay? Ich habe ja für beliebiges $\begin{eqnarray} x\in\ell_p \end{eqnarray}$ gezeigt, dass es eine Folge in $\begin{eqnarray} \operatorname{lin}A \end{eqnarray}$ gibt, die gegen x konvergiert. Damit ist x im Abschluss von $\begin{eqnarray} \operatorname{lin}A \end{eqnarray}$ . Das gilt für jedes $\begin{eqnarray} x\in\ell_p \end{eqnarray}$ . Also schonmal $\begin{eqnarray} \ell_p\subseteq \overline{\operatorname{lin}A} \end{eqnarray}$ . Muss ich die andere Inklusion auch zeigen? Wenn ja, wie? ________________________________________________________________________ Achso, ich glaube ich kann $\begin{eqnarray} \overline{\mbox{ lin }A}\subseteq\ell_p \end{eqnarray}$ vllt. doch begründen. Kurze Begründung (Begründung 1): $\begin{eqnarray} \mbox{lin }A \end{eqnarray}$ ist (kleinster) Untervektorraum von $\begin{eqnarray} \ell_p \end{eqnarray}$ (der $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ enthält), also jedenfalls $\begin{eqnarray} \mbox{lin }A\subseteq\ell_p \end{eqnarray}$ . Der Abschluss von $\begin{eqnarray} \mbox{lin }A \end{eqnarray}$ ist (die kleinste abgeschlossene) Teilmenge von $\begin{eqnarray} \ell_p \end{eqnarray}$ , die $\begin{eqnarray} \mbox{lin }A \end{eqnarray}$ enthält. Also $\begin{eqnarray} x\in\overline{\mbox{lin }A}\subseteq\ell_p\Rightarrow x\in\ell_p \end{eqnarray}$ . Ein bisschen anders (Begründung 2): $\begin{eqnarray} \overline{\mbox{lin }A}=\bigcap B \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} B\subseteq\ell_p, B\mbox{ abgeschlossen}, B\supset\mbox{lin }A \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} x\in \overline{\mbox{lin }A} \end{eqnarray}$ . Dann ist x in allen den obigen B's enthalten und damit in $\begin{eqnarray} \ell_p \end{eqnarray}$ , da die B's ja alle Teilmengen von $\begin{eqnarray} \ell_p \end{eqnarray}$ sind. -- - - Sind Begründung 1 und 2 korrekt? ________________________________________________________________________ Ich bin gerade ein bisschen verwirrt. Mein Tutor sagt, dass die Aufgabe "Zeige, dass $\begin{eqnarray} \ell_p, 1\leq p<\infty \end{eqnarray}$ separabel ist." gerade der Beweis des Lemmas ist, das ich im zweiten Beitrag dieses Threads gepostet habe. Wieso denn das?! ________________________________________________________________________ edit von sulo: Dreifachpost zusammengefügt.

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