Körperaxiome und deren Geltung

20.10.2012, 16:30

lagrange92

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Körperaxiome und deren Geltung

Meine Frage:
Wie kann man zeigen, dass bei einem Körper(K,+,*) die Körperaxiome gelten, denn das Rechnen mit ganzen Zahlen kann hier nicht die Lösung sein, doch fehlt mir hier die zündende idee.

Meine Ideen:
Meine einzige Idee wäre gewesen mit den Elementen der Menge (1,...,6)(K) zu rechnen und die Axiome so nach und nach zu prüfen, aber irgendwie erscheint mir dies als nicht aureichend.

20.10.2012, 16:57

Che Netzer

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RE: Körperaxiome und deren Geltung
Bitte was? Du hast einen Körper gegeben und möchtest überprüfen, ob für diesen die Körperaxiome gelten? verwirrt

verwirrt

20.10.2012, 18:03

lagrange92

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RE: Körperaxiome und deren Geltung
Genau das, aber ich weis nicht, wie ich das mit den Körperxiomen belegen
soll. Zwar könnte man das mit Zahlen nachrechnen, aber das ist ja kein Beweis.

20.10.2012, 18:05

Che Netzer

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RE: Körperaxiome und deren Geltung
Ein Körper ist aber so definiert, dass für ihn die Körperaxiome gelten. Sonst wäre es kein Körper.

Hast du vielleicht ein Tripel $\begin{eqnarray*} (K,+,*) \end{eqnarray*}$ gegeben und sollst überprüfen, ob das ein Körper ist?

20.10.2012, 18:16

lagrange92

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RE: Körperaxiome und deren Geltung
Für n Element (0 1 2 3 4 5 6 ) bezeichent n Strich die Menge der natürlichen Zahlen, die bei Division durch 7 den Rest n lassen, also etwa 3 Strich = (3 10 17 24 31 38,...). Bezeichne K := (0 1 2 3 4 5 6 Strich). Zu n,m Strich Element K existiert eine eindeutig bestimmte Zahl k Element (0 1 2 3 4 5 6) mit n+m Element k Strich. Wir definieren n+m Strich :=k Strich. Analog sei n*m Strich definiert durch n*m Strich:= l Strich, falls n*m Element l Strich. Zeigen sie, dass K mit den so definierten Verknüpfungen + und * die Körperaxiome gelten (mit K anstelle von R) erfüllt. ( das Rechnen mit ganzen Zahlen sei in dieser Aufgabe als bekannt vorausgesetzt)
Es geht mir gar nicht um eine lösung, aber mein Problem ist , dass ich den passenden Ansatz nicht finde.

20.10.2012, 18:34

RavenOnJ

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wär schön, wenn du das in Latex schreibst. Dann würde dir wohl auch gerne jemand helfen.

Gruß
Peter

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20.10.2012, 18:34

Che Netzer

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RE: Körperaxiome und deren Geltung
Du hast jetzt die beiden Verknüpfungen definiert. Jetzt kannst du die Körperaxiome alle durchgehen und überprüfen.

20.10.2012, 19:36

lagrange92

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RE: Körperaxiome und deren Geltung
Wie würde man das denn z.B. für das Assoziativgesetz machen? Ich weis nämlich nicht wie ich das machn soll, wo doch die Glieder von K gegeben sind.

21.10.2012, 11:59

Che Netzer

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RE: Körperaxiome und deren Geltung
Du möchtest also $\begin{eqnarray*} (n'+m')+k'=n'+(m'+k') \end{eqnarray*}$ zeigen.
Jetzt kannst du ja die Definition der Addition anwenden und dann die Assoziativität in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ anwenden.

21.10.2012, 12:50

lagrange92

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RE: Körperaxiome und deren Geltung
Wir hatten die Definition der Addition noch nicht braucht man die unbedingt?

21.10.2012, 13:05

Che Netzer

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RE: Körperaxiome und deren Geltung

Zitat:

Original von lagrange92
Wir definieren n+m Strich :=k Strich

verwirrt

21.10.2012, 13:23

lagrange92

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RE: Körperaxiome und deren Geltung
Wir hatten die Definition der Addition noch nicht braucht man die unbedingt?
Für [latex ]n\in(0,2,3,4,5,6) [/latex] bezeichent n Strich die Menge der natürlichen Zahlen, die bei Division durch 7 den Rest n lassen, also etwa [latex ]3 Strich\in(3,10,17,24,...)[/latex]. Bezeichne [latex ]k\in(0,1,2,3,4,5,6 Strich)[/latex]. Zu $\begin{eqnarray*} n,m Strich \in K \end{eqnarray*}$ existiert eine eindeutig bestimmte Zahl $\begin{eqnarray*} k\in (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) mit \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} n+m\in Strich \end{eqnarray*}$ . Wir definieren n+m Strich :=k Strich. Analog sei n*m Strich definiert durch n*m Strich:= l Strich, falls n*m Element l Strich. Zeigen sie, dass K mit den so definierten Verknüpfungen + und * die Körperaxiome (mit K anstelle von R) erfüllt. ( das Rechnen mit ganzen Zahlen sei in dieser Aufgabe als bekannt vorausgesetzt).
Mich verwirren die Bezeichnungen, kannst du die bitte noch kurz erklären, weil ich die Bezeichnungen mit "Strich" nicht ganz zuordnen kann, was mein Hauptproblem ist neben dem Beweis und ich so auch keine klaren Bedingugen formulieren kann.
Es wäre sher nett, ich hoffe ich gehe dir damit nicht zu sehr auf die Nerven, aber ich hatte erst zwei Ana.1 Vorlesungen und kenne gerade mal die Körper-, Anordnungs- und das Vollständigkeitsaxiom.
Ich habe versucht es klarer auf zuschreiben, aber ich bringe es mit latex nicht hin die Striche über den Buchstaben, z.B. n Strich darzustellen. Sorry.

21.10.2012, 13:48

Che Netzer

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RE: Körperaxiome und deren Geltung
Vielleicht meinst du \overline bzw \bar ( $\begin{eqnarray*} \overline n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \bar n \end{eqnarray*}$ ).
Wenn ja, dann hast du $\begin{eqnarray*} \bar n+\bar m:=\bar k \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} n+m=k \end{eqnarray*}$ . Insbesondere $\begin{eqnarray*} \bar n+\bar m=\overline{(n+m)} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt zeige, dass $\begin{eqnarray*} (\bar n+\bar m)+\bar k=\bar n+(\bar m+\bar k) \end{eqnarray*}$ .

21.10.2012, 14:10

lagrange92

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RE: Körperaxiome und deren Geltung
Wie genau passt hier der Anfang der Aufgabe mit der Division durch sieben ins Bild?

21.10.2012, 14:15

Che Netzer

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RE: Körperaxiome und deren Geltung
Über die Division durch Sieben kann man $\begin{eqnarray*} \bar n \end{eqnarray*}$ definieren.

21.10.2012, 14:21

lagrange92

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RE: Körperaxiome und deren Geltung
Jetzt versteh ich aber noch nicht,wie die zu $\begin{eqnarray*} \overline m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline l \end{eqnarray*}$ kommen und was genau die Beiden aussagen. Entschuldigung ich habe, aber vorher so Aufgaben noch nicht bearbeitet.

21.10.2012, 14:34

Che Netzer

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RE: Körperaxiome und deren Geltung
Das sind Mengen bzw. Äquivalenzklassen.
Wenn du Drei und Vier addierst, erhältst du zwar Sieben, aber da $\begin{eqnarray*} 7/7=1+0 \end{eqnarray*}$ , ist $\begin{eqnarray*} \bar 7=\bar0 \end{eqnarray*}$ .

21.10.2012, 14:42

lagrange92

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RE: Körperaxiome und deren Geltung
Ok, danke, wenn noch Fragen auftauchen melde ich mich. Du erklärst gut.

22.10.2012, 19:20

lagrange92

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RE: Körperaxiome und deren Geltung
welche bedetung haben bei $\begin{eqnarray*} K:= (\overline 0,\overline1,\overline2,\overline3,\overline4,\overline5,\overline6) \end{eqnarray*}$ die Striche über den Zahlen?

22.10.2012, 19:38

RavenOnJ

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das sind die Restklassen mod 7.

Gruß
Peter

22.10.2012, 19:39

Che Netzer

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RE: Körperaxiome und deren Geltung
Die Striche bedeuten, dass es nicht die Zahl selbst ist, sondern die Menge aller Zahlen, die bei Division durch Sieben den entsprechenden Rest ergeben.
$\begin{eqnarray*} \bar 0=\{0,7,14,\dotsc\} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \bar 3=\{3,10,17,\dotsc,\}\,. \end{eqnarray*}$

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