Exaktes Differential - Wegintegral

20.10.2012, 16:53	Sol	Auf diesen Beitrag antworten »
Exaktes Differential - Wegintegral Hi Leute, ich hab mal ne Frage zu exakten Differentialen, bzw. über ein Wegintegral in diesem Fall. Gegeben ist folgendes Differential: $\begin{eqnarray} dF(x,y)=(2y^2-3x)dx-4xydy \end{eqnarray}$ Dieses ist jetzt kein exaktes Differential, da $\begin{eqnarray} \frac{\delta}{\delta y}[2y^2-3x]=4y\neq-4y= \frac{\delta}{\delta x}[-4yx] \end{eqnarray}$ So, nun soll dieses Differential entlang zweier Pfade integriert werden, beide haben den Anfangspunkt (-a , -a) sowie den Endpunkt (a , a), verlaufen aber verschieden: $\begin{eqnarray} \gamma_3: (-a,-a)\rightarrow(a,-a)\rightarrow(a,a)\\<br /> \gamma_4: (-a,-a)\rightarrow(-a,a)\rightarrow(a,a) \end{eqnarray}$ http://imageshack.us/a/img221/6240/mathe.jpg So, erstmal zum Wegintegral - wie mach ich das denn überhaupt? Meine Idee, war das Stückweise zu integrieren, also den Weg Gamma 3 nochmal aufzuspalten, das sah dann so aus (erstmal natürlich x und y parametrisieren): $\begin{eqnarray} x(t)=-a+at\Rightarrow \dot x=a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y(t)=-a\Rightarrow \dot y=0 \quad fuer \quad t\in [0,2]<br /> \end{eqnarray}$ also für den Weg $\begin{eqnarray} (-a,-a)\rightarrow (a,-a) \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} (a,-a)\rightarrow (a,a) \end{eqnarray}$ dann: $\begin{eqnarray} x(t)=a\Rightarrow \dot x=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y(t)=-a+at\Rightarrow \dot y=a \quad fuer \quad t\in [0,2]<br /> \end{eqnarray}$ Nun hab ich für jeden "Einzelpfad" hier das jeweilige x und y eingesetzt und integriert, und dann die beiden Integralwerte addiert, was dann so aussah: $\begin{eqnarray} \int_0^2 \! (2a^3-3a^2t+3a^2) \, dt+\int_0^2 \! (4a^3-4a^3t) \, dt =4a^3 \end{eqnarray}$ Wenn ich das nun aber auch über $\begin{eqnarray} \gamma_4 \end{eqnarray}$ mache, komme ich exakt auf denselben Wert. Darum meine Frage - ist das überhaupt richtig so? Was mein Problem dabei ist: laut meiner Vorlesung ist das Integral eines exakten Differentials zwischen zwei Punkten wegunabhängig. Hier handelt es sich aber nicht über ein solches, weshalb die Integrale über die beiden Wege ja eigtl verschieden sein sollten. Also wo liegt mein Fehler? Wäre für jede Hilfe dankbar P.S.: ich hab mir zu dem Differential selber nochmal zwei Wege gebastelt - und zwar von (-1,0) -> (1,0). Der erste Weg läuft gegen den Uhrzeigersinn auf dem Einheitskreis von (-1,0) nach (1,0), der andere im Uhrzeigersinn (hier war ich mir mit der Parametrisierung sicherer). Auch hier bekomme ich beides mal denselben Wert raus. Besser noch, das Integral über den kompletten Einheitskreis gibt 0, was auch atypisch für nicht-exakte Differentiale ist .... verwirrt...
21.10.2012, 15:27	Gast123123123	Auf diesen Beitrag antworten »
Wähle doch mal einen Integrationsweg, der kein Quadrat sondern ein Rechteck ist, zb Bsp mit Breite der x-Achse =a und Höhe (y-achse) = b.
24.10.2012, 23:01	Sol	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das war's ... über ein Rechteck integriert kommt was verschiedenes raus, dummerweise sieht's auf dem Übungsblatt wie ein Quadrat aus, und dann kommt tatsächlich das gleiche raus Danke!

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