Untermannigfaltigkeit zeigen

20.10.2012, 17:01

LAgirly

Untermannigfaltigkeit zeigen

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich soll zeigen, dass die Menge $\begin{eqnarray*} M=\{\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb R ^{3}; 2x+zy=z+y=0\} \end{eqnarray*}$ eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit ist.

Meine Ideen:
Grundsätzlich habe ich mir dazu überlegt, dass ich sicherlich mit dem Satz über implizite Funktionen weiterkomme.

Ich habe nun wie folgt angefangen:

Setze $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R ^3 \to \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 2x+2y \\ z+y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Dann ist Df( $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix})= \begin{pmatrix} 2 & z & y \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Da die Zeilen linear unabhängig sind, folgt Rang Df= 2.

Nun weiß ich aber nicht so ganz, wie ich weitermachen soll... Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!

Viele liebe Grüße und danke schon mal im Voraus!

20.10.2012, 23:34

gonnabphd

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Hi,

Das ist schonmal sehr gut. Was sagt dir denn nun der Satz über implizite Funktionen (bisher hast du geprüft, dass er anwendbar ist) genau? Vergleiche das mit dem, was du zeigen musst, um nachzuweisen, dass M eine 1-Mannigfaltigkeit ist.

smile

21.10.2012, 14:29

LAgirly

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Der Satz über implizite Funktionen sagt mir, dass sich die Funktion in Umgebung von c eindeutig nach y auflösen (f(c) = 0).

Dann muss ich nun im Grunde erstmal prüfen, in welchen Punkten die Funktion Null wird, oder?

Dazu sei nun $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix})=0 \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ 2x + zy = 0 und z + y = 0
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y= \pm \sqrt{2x} \Rightarrow z= -+\sqrt{2x} \end{eqnarray*}$

Also wär die Funktion in Umgebung von [latex]\begin{pmatrix} x \\ \pm \sqrt{2x} \\ -+\sqrt{2x} \end{pmatrix} nach y aufzulösen...

Soweit richtig?

21.10.2012, 16:22

gonnabphd

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Per Definition ist ja schonmal $\begin{eqnarray*} M = f^{-1}(0) \end{eqnarray*}$ . Um zu zeigen, dass M eine 1-Mannigfaltigkeit ist, müssten wir uns vielleicht erstmal auf eine Definition von Mannigfaltigkeit einigen. Wie habt ihr das denn genau definiert?

Und um die Aufgabe zu lösen müssen wir dann nachweisen, dass M die Voraussetzungen dieser Definition erfüllt. Dabei wird uns auf jeden Fall der Satz über implizite Funktionen helfen. Wie genau wir ihn benutzen hängt nun ein wenig davon ab, welche Definition von Mannigfaltigkeiten ihr gewählt habt.

21.10.2012, 17:09

LAgirly

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Also wir haben Untermannigfaltigkeit wie folgt definiert:

Eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} M \subset \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ heißt k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ , wenn es zu jedem Punkt $\begin{eqnarray*} a \in M \end{eqnarray*}$ eine offene Umgebung $\begin{eqnarray*} U \subset \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ von a und stetig differenzierbare Funktionen $\begin{eqnarray*} f_1, ..., f_{n-k}:U \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt, so dass
(i) $\begin{eqnarray*} M \cap U = \{x \in U; f_1(x)=...=f_{n-k}(x)=0\} \end{eqnarray*}$ ,
(ii) Rang Df(a)=n-k für $\begin{eqnarray*} f=(f_1, ...f_{n-k})^t:U \to \mathbb R ^{n-k} \end{eqnarray*}$ .

In unserem Fall ist k ja nun 1 und n=3. Demnach muss für (ii) der Rang Df= 2 sein, was ja eigentlich schon gezeigt ist, oder?

U ist in unserem Fall ja $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ und wenn wir $\begin{eqnarray*} M \cap U \end{eqnarray*}$ betrachten ergibt dies doch wieder M, weil M doch eine Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ ist, oder?

21.10.2012, 20:49

gonnabphd

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Jep, das siehst du alles ganz richtig. Damit hattest du also schon (i) und (ii) aus eurer Definition in deinem ersten Beitrag nachgewiesen, und bist fertig.

Der Satz über implizite Funktionen kommt in diesem Falle also gar nicht ins Spiel; für andere geläufige Definitionen von Mannigfaltigkeiten würde man ihn benötigen.

21.10.2012, 22:25

LAgirly

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Oh, und mehr ist das gar nicht? Ich hätte gedacht, dass das alles viel komplizierter ist Big Laugh

Vielen, vielen Dank auf jeden Fall!

Wie könnte ich denn nun zu dieser Menge eine Karte finden? Eine Karte ist ja im Grunde ein Homöomorphismus, oder?
Wie genau finde ich diesen aber nun?

Ebenso ist mir noch nicht ganz klar, wie man ausgehend von der Menge Tangentialvektoren bestimmen kann. Dazu muss ich irgendwie eine stetig differenzierbare Abbildung finden, die eine Teilmenge der Menge ist, oder? Und wenn ich in diese Abbildung den Punkt 0 einsetze muss der Vektor herauskommen, in dem ich den Tangentialvektor bestimmen möchte. Die Ableitung dieser Abbildung im Nullpunkt ist dann der Tangentialvektor?

Fragen über Fragen... Vielleicht kann ja jemand ein wenig Licht in meine Dunkelheit bringen...

22.10.2012, 09:33

gonnabphd

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Um eine Karte zu finden, brauchst du nun den Satz über implizite Funktionen. In deinem Beispiel ist $\begin{eqnarray*} Df(x,y,z) = \begin{pmatrix} 2 & z & y \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und deshalb ist mit Sicherheit $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial(x,y)} = \begin{pmatrix} 2 & z \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bijektiv.

Der Satz über implizite Funktionen sagt dir deshalb, dass es zu jedem $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0,z_0)\in M \end{eqnarray*}$ ein offenes Intervall $\begin{eqnarray*} I\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z_0\in I \end{eqnarray*}$ und eine Umgebung $\begin{eqnarray*} U\subset \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0,z_0) \end{eqnarray*}$ gibt, so dass eine (eindeutig bestimmte) stetig differenzierbare Funktion
$\begin{eqnarray*} h: I \to \mathbb R^2, \; z \mapsto h(z) \end{eqnarray*}$
existiert mit
$\begin{eqnarray*} f(x,y,z) = 0 \iff (x,y) = h(z) \quad \forall (x,y,z)\in U \end{eqnarray*}$

(oder weniger genau: die Gleichung $\begin{eqnarray*} f(x,y,z) = 0 \end{eqnarray*}$ ist lokal eindeutig nach $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ auflösbar)

Wie kannst du also damit eine Karte für eine Umgebung von $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0, z_0) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ definieren (bzw. wie findest du eine lokale Parametrisierung)?

22.10.2012, 09:52

LAgirly

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Ich muss gestehen, dass ich gerade ein wenig auf dem Schlauch stehe bezüglich dem Definieren einer Karte... Bin aber beim Skript durchforsten auf einen Satz gestoßen, der mir folgendes sagt:

M ist eine 1-dim. Untermannigfaltigkeit von $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} a \in M \end{eqnarray*}$ eine offene Umgebung U in $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ , eine offene Teilmenge $\begin{eqnarray*} W \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ und einen stetig diffbaren Homöomorphismus $\begin{eqnarray*} \phi: W \to U \cap M \end{eqnarray*}$

Ist dieser dann nicht automatisch eine Karte? Oder muss das mit speziellen Werten sein oder muss ich dann noch etwas weiteres zeigen?

Danke für deine Geduld!

22.10.2012, 11:27

RavenOnJ

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Deine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist ein einfaches Gebilde, nur eine Kurve, die ins Unendliche läuft, zusammenhängend, ohne Kreuzungspunkte. Nimm doch deswegen $\begin{align*} W=\mathbb{R} \end{align*}$ und $\begin{eqnarray*} \Phi:t\mapsto (t^2/2,t,-t) \end{eqnarray*}$ als Karte.

Gruß
Peter

22.10.2012, 14:26

gonnabphd

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Zitat:

M ist eine 1-dim. Untermannigfaltigkeit von $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} a \in M \end{eqnarray*}$ eine offene Umgebung U in $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ , eine offene Teilmenge $\begin{eqnarray*} W \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ und einen stetig diffbaren Homöomorphismus $\begin{eqnarray*} \phi: W \to U \cap M \end{eqnarray*}$

Ist dieser dann nicht automatisch eine Karte? Oder muss das mit speziellen Werten sein oder muss ich dann noch etwas weiteres zeigen?

Klar könntest du diesen Satz benutzen. Wenn du ihn allerdings auch verstehen würdest (bzw. dessen Beweis), dann könntest du mir im obigen Beispiel sofort sagen, wie die Karte nun konkret auszusehen hat, wenn wir die Existenz einer stetig differenzierbare Funktion
$\begin{eqnarray*} h: I \to \mathbb R^2, \; z \mapsto h(z) \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} f(x,y,z) = 0 \iff (x,y) = h(z) \quad \forall (x,y,z)\in U \end{eqnarray*}$
(welche uns durch den Satz über implizite Funktionen gesichert ist) annehmen.

Es ist nämlich $\begin{eqnarray*} z\mapsto (h(z), z) \end{eqnarray*}$ eine geeignete Parametrisierung $\begin{eqnarray*} I \to U\cap M \end{eqnarray*}$ (wieso?). Wenn du das siehst, dann würde ich dich dazu ermutigen, das Resultat zu verallgemeinern für den Fall, dass M eine beliebige k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ , gemäss eurer Definition

Zitat:

Eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} M \subset \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ heißt k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ , wenn es zu jedem Punkt $\begin{eqnarray*} a \in M \end{eqnarray*}$ eine offene Umgebung $\begin{eqnarray*} U \subset \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ von a und stetig differenzierbare Funktionen $\begin{eqnarray*} f_1, ..., f_{n-k}:U \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt, so dass (i) $\begin{eqnarray*} M \cap U = \{x \in U; f_1(x)=...=f_{n-k}(x)=0\} \end{eqnarray*}$ , (ii) Rang Df(a)=n-k für $\begin{eqnarray*} f=(f_1, ...f_{n-k})^t:U \to \mathbb R ^{n-k} \end{eqnarray*}$ .

ist. D.h. stelle eine Vermutung auf, wie das höherdimensionale Resultat lauten müsste und beweise das dann.

Tipp: Es ist alles völlig analog zu dem Beweis des eindimensionalen Falles - orientiere dich also stark daran.

Das wäre auf alle Fälle eine sehr sinnvolle Aufgabe, welche du dir selbst stellen könntest.

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