Folge in Maßraum

20.10.2012, 15:12	h4mmer	Auf diesen Beitrag antworten »
Folge in Maßraum Hallo zusammen, Ich bin an folgender Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} (X,A,\phi) \end{eqnarray}$ ein Maßraum. Ich soll zeigen, wenn $\begin{eqnarray} (B_j)_{j\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ Folge in A ist mit $\begin{eqnarray} B_j\subset B_{j-1}\subset ...\subset B_2\subset B_1 \end{eqnarray}$ , dann gilt: $\begin{eqnarray} \phi (\cap _{j=1}^{\infty}B_j)=lim_{n\to \infty}\phi (B_n) \end{eqnarray}$ Meine Idee: $\begin{eqnarray} \phi (\cap _{j=1}^{m}B_j)=\phi (B_m) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} m\to \infty \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \phi (B_m)=lim_{m\to \infty} \phi(B_m) \end{eqnarray}$ Ist das wirklich schon alles? (erscheint mir irgendwie trivial) Vielen Dank schonmal, Gruß
20.10.2012, 15:16	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge in Maßraum Hallo, die Aussage stimmt doch gar nicht... mfg, Ché Netzer
20.10.2012, 15:19	h4mmer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge in Maßraum Oje, tut mir leid, ich hab vergessen zu erwähnen dass $\begin{eqnarray} \phi (B_1)< \infty \end{eqnarray}$ ist.
20.10.2012, 15:23	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge in Maßraum Besser Hattet ihr schon die Stetigkeit des Maßes für aufsteigende Mengenfolgen? Wenn ja, dann definiere $\begin{eqnarray} B_n'=B_1\setminus B_n \end{eqnarray}$ . Edit: Du hast in einem Schritt nämlich den Limes ins Maß gezogen, das geht natürlich noch nicht.
22.10.2012, 15:44	h4mmer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge in Maßraum Hallo, Ich bin soweit gekommen: Sei $\begin{eqnarray} B'_n=B_1 \setminus B_n \end{eqnarray}$ . Dann $\begin{eqnarray} \phi (\cap _{j=1}^{\infty}B_j) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\phi (\cup _{n=1}^{\infty}B'_n) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =lim_{n\to \infty}\phi (B'_n) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =lim_{n\to \infty}\phi (B_1 \setminus B_n) \end{eqnarray}$ Hier komme ich leider nicht mehr weiter.
22.10.2012, 16:17	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge in Maßraum Für Maße $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ , messbare $\begin{eqnarray} A\subset B \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mu(A)<\infty \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \mu(B\setminus A)=\mu(B)-\mu(A) \end{eqnarray}$ .
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22.10.2012, 16:34	h4mmer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge in Maßraum $\begin{eqnarray} =lim_{n\to \infty}\phi (B_1 \setminus B_n) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =lim_{n\to \infty}(\phi (B_1)-\phi (B_n)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\phi (B_1)-lim_{n\to \infty}\phi (B_n) \end{eqnarray}$ Aber warum ist das gleich $\begin{eqnarray} lim_{n\to \infty} \phi (B_n) \end{eqnarray}$ ?
22.10.2012, 16:36	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge in Maßraum Ist es gar nicht; du hast aber gezeigt, dass es gleich $\begin{eqnarray} \phi\left(B_1\setminus\bigcap_{n\in\mathbb N}B_n\right) \end{eqnarray}$ ist.
22.10.2012, 16:40	h4mmer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge in Maßraum Achso...!!! Ich danke dir vielmals für dein super Hilfe

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