Wurzel(x²)=x ?

20.10.2012, 21:35

Dopap

Wurzel(x²)=x ?

Was ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen: erstmal eine Schreibfigur. Also weder x noch |x|

1.) Ist der Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ , dann darf man $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2}=({x^2})^{\frac 12}=x \end{eqnarray*}$ schreiben.

2.) Ist der Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , dann geht Obiges nicht, man kann dann höchstens den Ausdruck als verkettete Funktionenen ( Operatoren ) auffassen.

wenn $\begin{eqnarray*} q(u)=u^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt, desweiteren sei $\begin{eqnarray*} w(z)=\sqrt z ~ \text{mit} ~ z \in \mathbb R_+ \end{eqnarray*}$ gilt. Dann ist

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2}=w(z)\circ q(x)= |x| \end{eqnarray*}$

Der Bildbereich der inneren Funktion muss im Argumentbereich der äusseren Funktion liegen.

3.) Wenn man gedanklich auf Potenzgesetze verzichtet, und wenn klar ist, was innere und äussere Funktion ist, dann kann man pragmatischer Weise doch $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2}= |x| \end{eqnarray*}$ schreiben.
Der Fall 1.) ist dann sozusagen enthalten.

So versuche ich es "an den Mann zu bringen", wenn das mal wieder nachgefragt wird.

Habe ich da evtl. etwas übersehen?

20.10.2012, 22:00

mYthos

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Ich setze mal blauäugig $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} = z \end{eqnarray*}$ und löse damit die Gleichung

$\begin{eqnarray*} z^2 = x^2 \end{eqnarray*}$

nach z.

$\begin{eqnarray*} z^2 - x^2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (z - x)(z + x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_1 = x; z_2 = -x \end{eqnarray*}$

mY+

20.10.2012, 22:26

Mystic

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Zitat:

Original von mYthos
Ich setze mal blauäugig $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} = z \end{eqnarray*}$ und löse damit die Gleichung

$\begin{eqnarray*} z^2 = x^2 \end{eqnarray*}$

nach z.

$\begin{eqnarray*} z^2 - x^2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (z - x)(z + x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_1 = x; z_2 = -x \end{eqnarray*}$

Ja, aber geht ja nun noch weiter: Da zwischendurch ein Umformung dabei war (das Quadrieren zu Beginn!), welche keine Äquivalenzumformung ist, muss man die gefundenen Werte noch daraufhin überprüfen, ob sie auch wirklich Lösungen sind. Da die Wurzelfunktion bekanntlich nur nichtnegative Werte liefert, muss man sich von den zwei Werten den nichtnegativen herauspicken und die andere "Lösung" streichen... Man kommt so also wieder auf |x|... Augenzwinkern

20.10.2012, 22:32

Dopap

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edit: @mYthos:

das ändert nix.

$\begin{eqnarray*} \sqrt {x^2}=z \qquad \bigg| ()^2<br /> <br /> \Rightarrow x^2=z^2 \end{eqnarray*}$

ist per se keine Äquivalenzumformung. Nur unter der Annahme, dass die Funktionen geschachtelt sind , ist das Eine --> es ist wieder Fall 2.)

23.10.2012, 00:40

mYthos

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Zitat:

Original von Mystic
...
Da zwischendurch ein Umformung dabei war (das Quadrieren zu Beginn!), welche keine Äquivalenzumformung ist, muss man die gefundenen Werte noch daraufhin überprüfen, ob sie auch wirklich Lösungen sind. Da die Wurzelfunktion bekanntlich nur nichtnegative Werte liefert, muss man sich von den zwei Werten den nichtnegativen herauspicken und die andere "Lösung" streichen... Man kommt so also wieder auf |x|... Augenzwinkern

Wie wahr! THX!

mY+

23.10.2012, 01:14

Dopap

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Leider habe ich in keiner post gehört, dass ich richtig liege traurig

oder ist das implizit wegen Nichteinspruchs als gegeben zu erschliessen verwirrt

bitte, auch bei aller Diskussion, mal auf den Fragesteller eingehen

23.10.2012, 08:27

Mystic

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Zitat:

Original von Dopap
Leider habe ich in keiner post gehört, dass ich richtig liege traurig

oder ist das implizit wegen Nichteinspruchs als gegeben zu erschliessen verwirrt

Klarerweise liegst du richtig, nur hätte ich bei diesem Thema die Akzente vielleicht da und dort etwas anders gesetzt... Augenzwinkern

Das Wichtigste im Zusammenhang mit der reellen Wurzelfunktion ist, dass ihre Werte nichtnegativ sind... Dass dies keineswegs selbstverständlich ist, davon zeugen viele Diskussionen hier im Board (nomina sunt odiosa!)... Man sieht dass ja auch bei der "Herleitung" von mYthos: Nur so war es am Ende der Rechnung möglich, die "richtige" Lösung auszusondern...

Insbesondere ist die Wurzelfunktion nicht mehrdeutig... Wie oft sieht man solchen Unsinn wie

$\begin{eqnarray*} \sqrt 4 =\pm 2 \end{eqnarray*}$

wo also eine offenkundige Verwechslung mit der Auflösung der Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^2=4 \end{eqnarray*}$

vorliegt... Nein, $\begin{eqnarray*} \sqrt 4 \end{eqnarray*}$ ist die nichtnegative Lösung dieser Gleichung, dass sollten unsere Lehrer an den Schulen immer und immer wieder herausstreichen...

Edit: Und bitte beachten, denn nur für kurze Zeit sichtbar, meine "runde" Postingsanzahl von 4k... Augenzwinkern

23.10.2012, 10:36

HAL 9000

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Dem Beitrag von Mystic kann man allenfalls noch ergänzend hinzufügen, dass hier

Zitat:

Original von Dopap
erstmal eine Schreibfigur. Also weder x noch |x|

zu korrigieren ist: Es ist doch |x|, zumindest wenn es um die reelle Wurzelfunktion geht. Ein "Verzicht auf Potenzgesetze" findet hier auch nicht statt, denn wegen $\begin{eqnarray*} (-x)^2 = x^2 \end{eqnarray*}$ kann man ja für alle reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ folgern

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} = \left( x^2 \right)^{\frac{1}{2}} = \left( |x|^2 \right)^{\frac{1}{2}} = |x|^{2\cdot\frac{1}{2}} = |x|^1 = |x| \end{eqnarray*}$ ,

also alles im grünen Bereich.

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