Holomorphe Funktion abschätzen

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21.10.2012, 12:06	nemo167	Auf diesen Beitrag antworten »
Holomorphe Funktion abschätzen Meine Frage: Hallo zusammen, ich betrachte eine eindeutige, holomorphe Funktion $\begin{eqnarray} f_q: \mathbb{C}\setminus i\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray}$ mit folgenden zwei Eigenschaften: (1) $\begin{eqnarray} \quad \lim_{\lambda \to \pm \infty} f_q(\lambda) = 0 \end{eqnarray}$ (2) $\begin{eqnarray} \quad \frac{f_q^{(q-1)}}{(q-1)!} = \lambda \exp(-\lambda^2) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} f_q^{(q-1)} \end{eqnarray}$ die (q-1)-te Ableitung von $\begin{eqnarray} f_q \end{eqnarray}$ bezeichen, $\begin{eqnarray} q \ge 3 \end{eqnarray}$ . Frage: Warum folgt daraus, dass sich die Funktion wie folgt abschätzen lässt: $\begin{eqnarray} <br /> \|f_q(\lambda)\| \le c \exp(-C\|\lambda\|^2)?<br /> \end{eqnarray}$ Es muss eigentlich ganz schnell folgen, aber ich sehe es einfach nicht... Meine Ideen: Ich betrachte mal $\begin{eqnarray} q=3 \end{eqnarray}$ . Dann wieß ich, dass die zweite Ableitung der holomorphen Funktion $\begin{eqnarray} \lambda \exp(-\lambda^2 ) \end{eqnarray}$ entspricht was sowohl nach unten als auch nach oben beschränkt ist. Wenn ich dass jetzt einmal integriere, erhalte ich $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\exp(-\lambda^2) + Konstante \end{eqnarray}$ . Jetzt müsste ich nochmal integrieren und die Eigenschaft (1) berücksichtigen, aber dabei erhalte ich doch keine Funktion der Gestalt einer Glocke wie $\begin{eqnarray} c \exp(-C\|\lambda\|^2) \end{eqnarray}$ , oder? Dazu passt meiner Meinung nach nicht die Ableitung, die ich gerade hergeleitet habe...
21.10.2012, 21:24	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Ganz allgemein hast du ja durch Taylor-Entwicklung (bzw. wiederholte partielle Integration) $\begin{eqnarray} f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} x^k + \int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) \, dt \end{eqnarray}$ In deinem Falle definiert $\begin{eqnarray} R_a(x) = \int_a^x \frac{(x-t)^{q-2}}{(q-2)!} f_q^{(q-1)}(t) \, dt \end{eqnarray}$ eine beschränkte Funktion auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ gemäss (2) und (1) impliziert deshalb, dass $\begin{eqnarray} f_q(x) = f_q(a) + \int_a^x \frac{(x-t)^{q-2}}{(q-2)!} f_q^{(q-1)}(t) \, dt \end{eqnarray}$ Nun kannst du $\begin{eqnarray} a\to -\infty \end{eqnarray}$ gehen lassen, um $\begin{eqnarray} f_q(x) = \int_{-\infty}^x \frac{(x-t)^{q-2}}{(q-2)!} f_q^{(q-1)}(t) \, dt \end{eqnarray}$ zu bekommen. Damit lässt sich das asymptotische Verhalten von $\begin{eqnarray} f_q \end{eqnarray}$ bestimmen, wie gewünscht. (Versuche bspw. mal eine Abschätzung mit $\begin{eqnarray} C = 1/2 \end{eqnarray}$ zu bekommen) Gruss
22.10.2012, 07:39	nemo167	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Das hilft mir sehr weiter... Grüße!
22.10.2012, 08:19	nemo167	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe das doch noch nicht richtig verstanden fürchte ich. Warum impliziert (1) die Formel $\begin{eqnarray} f_q(x) = f_q(a) + \int\limits_a^x \frac{(x-t)^{q-2}}{(q-2)!}f^{(q-1)}_q(t) dt \end{eqnarray}$ ? Wieso ist zum Beispiel die (q-2)-te Ableitung verschwunden? Außerdem sollt $\begin{eqnarray} R_a(x) \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \setminus i \mathbb{R} \end{eqnarray}$ beschränkt sein, da $\begin{eqnarray} f_q: \mathbb{C} \setminus i \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray}$ . Folgt da genauso aus (2) ?
22.10.2012, 09:14	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, grober Schnitzer meinerseits. Das Restglied ist ja gar nicht beschränkt für x gegen unendlich... Entschuldige den Schwachsinn, bitte. (ich hatte gedacht das Restglied sei beschränkt, und damit die Funktion für x gegen unendlich dann gegen 0 konvergiert, müsste notwendigerweise der polynomiale Anteil verschwinden... Aber wir haben ja im Inneren des Integrals ein x stehen...) Hmm... Und zusätzlich sollte das noch auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb C\setminus i\mathbb R \end{eqnarray}$ gelten? Auf der reellen Achse könnte ich mir das gut vorstellen, aber in der Nähe von $\begin{eqnarray} i\mathbb R \end{eqnarray}$ scheint eine solche Abschätzung doch recht erstaunlich. Woher kommt denn dieses Problem?
22.10.2012, 09:28	nemo167	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus einem Paper aus der mathematischen Zeitschrift GAFA. Ich brauche das für meine Diplomarbeit. Ich habe vergessen zu sagen, dass die Abschätzung nur für solche $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ gelten soll, die entweder $\begin{eqnarray} \|\lambda \| = \frac{c}{2} \end{eqnarray}$ für c positive Konstante erfüllen, oder für $\begin{eqnarray} \lambda \in \Delta \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \Delta \end{eqnarray}$ zwei Rechtecke in $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ , die um $\begin{eqnarray} \pm \frac{3c}{4} \end{eqnarray}$ von 0 weg verschoben sind. Das ist hier vermutlich entscheidend, oder? Sorry, da war ich sehr ungenau...
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22.10.2012, 10:13	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
welche Rechtecke? Du gibst keine Grenzen an.
22.10.2012, 10:27	nemo187	Auf diesen Beitrag antworten »
Das eine hat die Ecken $\begin{eqnarray} \frac{-3c}{8}i + \frac{3c}{4}, \frac{3c}{8}i + \frac{3c}{4},\frac{3c}{8}i + b, \frac{-3c}{8}i + b, \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} b \in \mathbb{R} > \frac{3c}{4} \end{eqnarray}$ . Das andere Rechteck ist das an der imaginären Achse gespiegelte dazu. Ich dachte, ich stehe vielleicht nur auf dem Schlauch und hinter der Aussage steckt nicht so viel...
23.10.2012, 11:47	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt bin ich etwas verwirrt... Wäre vielleicht gut, wenn du nochmal ganz klar aufschreiben könntest, was nun genau die Problemstellung ist. Kann dir aber natürlich nicht versprechen, gleich eine Lösung zu sehen. Aber versuchen würde ich's bestimmt und hoffentlich auch RavenOnJ, sowie alle anderen, die diesen Thread mitverfolgen.
23.10.2012, 14:08	nemo167	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo zusammen, es tut mir Leid, dass ich nicht von Anfang an meine Frage ordentlich gestellt habe. Jetzt versuch ichs nochmal richtig und versuche nichts zu vergessen... Eigentlich sind es nämlich zwei verschiedene Probleme. Ich nenne erst mal nur das (hoffentlich) einfachere. Ich betrachte eine eindeutige holomorphe Funktion $\begin{eqnarray} f_q: \mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray}$ mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray} \frac{f^{(q-1)}_q(\lambda)}{(q-1)} = \lambda \exp(-\lambda^2), q \ge 3 \end{eqnarray}$ Ich will zeigen, dass für alle $\begin{eqnarray} \|\lambda\| = c \end{eqnarray}$ eine Abschätzung $\begin{eqnarray} \|f_q(\lambda)\| \le C_1 \exp(-C_2 \|\lambda\|^2) \end{eqnarray}$ erfüllt ist, mit $\begin{eqnarray} C_1, C_2 \end{eqnarray}$ positive Konstanten. Wenn ich das verstehe, bekomme ich vielleicht auch das andere Problem mit dem Rechteck und den zusätzlichem Randwert hin... Danke für eure Geduld mit mir!
23.10.2012, 16:38	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, so geht das leider nicht. Es ist i.A. recht heikel, ein Problem zu vereinfachen, bzw. es in Teilprobleme aufzustückeln, wenn nicht klar ist, entlang welchen Linien ein Beweis verlaufen könnte. Du solltest uns also am liebsten einfach alle Informationen geben. Das Problem, welches du nun aufgeschrieben hast, ist z.B. definitiv eine falsche Aussage: Eine beschränkte holomorphe Funktion auf C ist ja konstant. Also ist $\begin{eqnarray} \|f_q(\lambda)\| \le C_1 \exp(-C_2 \|\lambda\|^2) \end{eqnarray}$ nicht vereinbar mit $\begin{eqnarray} \frac{f^{(q-1)}_q(\lambda)}{(q-1)} = \lambda \exp(-\lambda^2), q \ge 3 \end{eqnarray}$
23.10.2012, 17:21	nemo167	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber die Abschätzung soll doch nicht für alle $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb{C} \end{eqnarray}$ erfüllt sein, sondern nur für diejenigen mit $\begin{eqnarray} \|\lambda\| = c \end{eqnarray}$ (die also auf einem Kreis um 0 mit Radius c liegen). Dann folgt nicht, dass die Funktion konstant ist, und die Aussage könnte sitimmen für solche $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ , oder?!
23.10.2012, 17:57	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, das c ist einfach irgendwie vorher bestimmt und fixiert? Ok., I see. Und wovon sollen denn die Konstanten abhängen? Soll das uniform über alle q und für fixes c gelten, oder wie?
23.10.2012, 20:16	nemo167	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Das c ist ein feste, zuvor ausgewählte Konstante und die Abschätzung soll uniform über alle q gelten.

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