Funktion mit Lipschitz-stetiger Ableitung abschätzen

21.10.2012, 12:08	MrBubbles	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion mit Lipschitz-stetiger Ableitung abschätzen Meine Frage: Hallo. Ich habe folgende Aufgabe, in bei der ich nicht weiterkomme: Gegeben ist eine stetig diff'bare Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ mit Lipschitz-stetige Ableitung, also $\begin{eqnarray} \|f^\prime (x)-f^\prime (y)\|\leq L\|x-y\|\forall x,y\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Nun soll ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} \left\|\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f^\prime(x) \right\|\leq\frac{Lh}{2} \end{eqnarray}$ gilt. Meine Ideen: Ich hatte die Idee, den Bruch mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung abzuschätzen, also es gibt ein $\begin{eqnarray} z\in (x,x+h) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f^\prime (z) \end{eqnarray}$ . Dann folgt $\begin{eqnarray} \left\|\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f^\prime(x) \right\|=\|f^\prime(z)-f^\prime(x)\|\leq L\|z-x\|\leq Lh \end{eqnarray}$ . Dann fehlt aber noch der Faktor $\begin{eqnarray} \frac 12 \end{eqnarray}$ . Kann mir jemand helfen? Latex korrigiert Mulder
21.10.2012, 12:16	MrBubbles	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion mit Lipschitz-stetiger Ableitung abschätzen Danke für die Korrektur der Formeln
22.10.2012, 19:27	EinGast	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion mit Lipschitz-stetiger Ableitung abschätzen Ist hier $\begin{eqnarray} h>0 \end{eqnarray}$ ? Falls ja, so hilft die Darstellung $\begin{eqnarray} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f'(x)=\frac{1}{h}\int_x^{x+h}\Bigl(f'(t)-f'(x)\Bigr)~\dd t \end{eqnarray}$

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