Die Menge ist dicht in IR

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21.10.2012, 12:29	Anjuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Menge ist dicht in IR Meine Frage: Es sei $\begin{eqnarray} T= {(x, y)\in (IR)^{2} \| x^{2}+y^{2}= 1} \end{eqnarray}$ und es sei $\begin{eqnarray} G= T^{2}\subset (IR)^{4} \end{eqnarray}$ Weiterhin gilt $\begin{eqnarray} H={cos(t),sin(t),sin(\sqrt{2}, cos(\sqrt{2}, t\in IR} \end{eqnarray}$ Zeigen Sie H ist dicht in G. Wie mache ich das?? Meine Ideen: Wir dürfen dies benutzen: Die Menge $\begin{eqnarray} \left\{ j+k\sqrt{2} \right\} \end{eqnarray}$ ist dicht in den reelen Zahlen. Aso ich habe vorerst garkeine idee wie ich an diese Aufgabe rangehen soll. ICh weiß nur das die rationalen Zahlen dicht im reellen sind
21.10.2012, 12:41	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Die Menge ist dicht in IR Hallo, wenn ich das richtig entziffert habe, werden folgende Mengen definiert: $\begin{eqnarray} \end{eqnarray}\begin{align}T&:=\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:x^2+y^2=1\right\}\,,\\G&:=T^2\subset\mathbb R^4\,,\\H&:=\left\{\left(\cos(t),\sin(t),\sin\sqrt2,\cos\sqrt2\right):t\in\mathbb R\right\}\,.\end{align}\begin{eqnarray} \end{eqnarray}$ Und ihr sollt zeigen, dass $\begin{eqnarray} \overline H=G \end{eqnarray}$ . Stimmt das soweit? Und was sind $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ in der Teilmenge von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ? mfg, Ché Netzer
21.10.2012, 12:46	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Die Menge ist dicht in IR edit: Che Netzer war schneller
21.10.2012, 12:47	Anjuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, sorry bin neu hier :-) also j und k sind ganze Zahlen und ich muss zeigen,dass H dicht in G ist
21.10.2012, 13:05	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich die Definition von $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ richtig aufgeschrieben habe, ist das aber gar nicht der Fall.
21.10.2012, 13:07	Anjuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh seh gerade dass dort ein t fehlt sowohl beim cos als auch beim sin wo kein t steht tut mir sehr leid für die Verwirrung
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21.10.2012, 13:35	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann parametrisiere mal $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ und vergleiche die Argumente in den Mengen.
21.10.2012, 14:20	Anjuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Also aus frühren Vl ist bekannt, dass sin²(t)+cos²(t)=1 ist und da da G=T² gilt (sin²(t)+cos²(t))²=1 also habe ich nun sin^4(t)+2sin²(t)cos²(t)+ cos^4(t)=1 und nun??
21.10.2012, 14:29	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das lassen wir mal lieber. Schreibe $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ähnlich wie $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ auf, mit zwei Parametern.
21.10.2012, 14:33	Anjuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Es tut mir leid, ich stehe im moment so richtig auf dem Schlauch und weiß nicht was du meinst??
21.10.2012, 14:36	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann verrate ich es mal: $\begin{eqnarray} G=\left\{(\cos(t),\sin(t),\sin(s),\cos(s)):s,t\in\mathbb R\right\}\,. \end{eqnarray}$
21.10.2012, 14:43	Anjuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke um dies jetzt zuvergleichen mit H: könnte man doch jetzt einfach s= 2^(1/2) nehmen doch was bringt mir das??
21.10.2012, 15:12	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
In $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ gehört dort doch eigentlich ein $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ hin. Die Elemente von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ musst du jetzt beliebig gut mit Elementen von $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ annähern können.
21.10.2012, 17:10	Anjuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt da kommt noch ein t hinzu sonst wäre es sinnfrei Also i-wie bin ich zu blöd für diese Aufgabe um die Annäherung zu zeigen, muss ich doch das zeigen $\begin{eqnarray} U(x)\cap H\neq leere Menge \end{eqnarray}$ U ist hier die epsilonUmgebung von einem Element aus G würdest du mir die Annährung Schritt für Schritt erklären
21.10.2012, 17:18	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach, lass das mit den Umgebungen lieber. Zeige lieber, dass man jedes Element aus $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ beliebig gut mit Elementen aus $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ annähern kann. Wir wählen also $\begin{eqnarray} x=(\cos(t),\sin(t),\sin(s)\cos(s))\in G \end{eqnarray}$ . Jetzt kannst du ein Element in $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ suchen, das in den ersten beiden Komponenten mit $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ übereinstimmt.
21.10.2012, 17:26	Anjuta	Auf diesen Beitrag antworten »
die ersten beiden Komponenten von x stimmen ja mit den ersten beiden Komponenten in H überein
21.10.2012, 17:29	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, wenn du z.B. $\begin{eqnarray} t'=t+2\pi k_1 \end{eqnarray}$ wählst. Dann sollst du in der zweiten Komponente $\begin{eqnarray} s+2\pi k_2 \end{eqnarray}$ beliebig gut mit $\begin{eqnarray} \sqrt2(t+2\pi k_1) \end{eqnarray}$ annähern.
21.10.2012, 17:32	Anjuta	Auf diesen Beitrag antworten »
und dann??
21.10.2012, 17:34	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du das kannst, hast du gezeigt, dass $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ dicht in $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ist.
21.10.2012, 17:39	Anjuta	Auf diesen Beitrag antworten »
würdest du mir die zweite annärung auch noch erklären ich hab kein klaren kopf mehr
21.10.2012, 17:43	LAgirly	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit der Dichtheit würde ich auch gerne verstehen. Könnte man das vielleicht an der Menge aus dem Ausgangstread (die verwendet werden konnte) M= $\begin{eqnarray} \{j+k\sqrt{2} \| j,k \in \mathbb Z \} \end{eqnarray}$ verdeutlichen? Wie würde ich zeigen, dass diese Menge dicht in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ist? Ich bräuchte ja im Grunde wieder eine zweite Menge (hier nun die reellen Zahlen) und müsste schauen, wie ich diese durch Elemente aus M annähern kann. Kann mir das jemand hieran nochmal vorführen/erklären?
21.10.2012, 17:48	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Was genau möchtest du denn jetzt verstehen? Die Dichtheit von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ wollen wir doch gar nicht zeigen.
21.10.2012, 17:52	LAgirly	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das stimmt! Ich würde aber gerne verstehen, wie man die Dichtheit in der Regel zeigt und fände es daher schön, das nochmal an einem weiteren Beispiel zu verdeutlichen/sehen. Anhand der bisherigen Beiträge ist mir noch nicht wirklich klar, wie ich da allgemein Schritt für Schritt vorgehe. Ein weiteres Beispiel könnte da hilfreich sein!
21.10.2012, 17:55	Anjuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du bitte zuerst mir die Annährung der zweiten Kompenente erklären bevor du die nächste frage beantortest Ich muss den Tipp ja nicht beweisen
21.10.2012, 17:59	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, ihr seid ja zwei verschiedene @LAgirly: Da geht man oft unterschiedlich vor. Stell die Frage nach der Dichtheit von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ in einem neuen Thema. @Anjuta: Du möchtest mit $\begin{eqnarray} (\cos t',\sin t',\sin(\sqrt2t'),\cos(\sqrt2t')) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} t'\in\mathbb R \end{eqnarray}$ möglichst gut $\begin{eqnarray} (\cos t,\sin t,\sin s,\cos s) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} s,t\in\mathbb R \end{eqnarray}$ , annähern. Dazu wählst du zunächst $\begin{eqnarray} t'=t+2\pi k_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} k_1\in\mathbb Z \end{eqnarray}$ , damit die ersten beiden Komponenten schonmal stimmen. Damit auch die letzten beiden etwa gleich sind, muss $\begin{eqnarray} \sqrt 2t' \end{eqnarray}$ ungefähr so groß sein wie $\begin{eqnarray} s+2\pi k_2 \end{eqnarray}$ für beliebiges $\begin{eqnarray} k_2\in\mathbb Z \end{eqnarray}$ . Besser?
21.10.2012, 18:02	LAgirly	Auf diesen Beitrag antworten »
@Anjuta: Sorry, ich wollte deine Frage nicht stören! @Che Netzer: ok, ich werde dazu ein neues Thema eröffnen!
21.10.2012, 18:02	Anjuta	Auf diesen Beitrag antworten »
die Idee ist mir klar muss ich denn da noch etwas zeigen ??
21.10.2012, 18:16	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, du musst zeigen, dass man jedes $\begin{eqnarray} s\in\mathbb R \end{eqnarray}$ beliebig gut mit $\begin{eqnarray} \sqrt2(t+2\pi k_1)+2\pi k_2 \end{eqnarray}$ für festes $\begin{eqnarray} t\in\mathbb R \end{eqnarray}$ annähern kann.
21.10.2012, 18:20	Anjuta	Auf diesen Beitrag antworten »
und wieso kann man das?? (sorry dass ich jetzt die einfachsten fragen stelle, will einfach nur sicher gehen dass ich es auch verstehe)
21.10.2012, 18:22	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier kannst du jetzt den Hinweis benutzen.
21.10.2012, 18:26	Anjuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Da G eine Teilmenge von IR^4 und nach dem Hinweis kann man die obere annährung machen und damit wäre G in H dicht
21.10.2012, 18:27	Anjuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Danke Danke für deine Hilfe und deine Geduld Das Thema ist echt nicht mein Thema
21.10.2012, 18:27	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass $\begin{eqnarray} G\subset\mathbb R^4 \end{eqnarray}$ , spielt hier keine Rolle. Vielleicht solltest du aber noch etwas näher erläutern, wieso aus dem Hinweis obige Annäherung möglich ist.

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