Surjektivität zeigen - Newtonscher Knoten

21.10.2012, 10:37

huefte

Surjektivität zeigen - Newtonscher Knoten

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe folgende Matheaufgabe und komme - zumindest gefühlt - zu keinem Ansatz. Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.

"Wir betrachten die Menge $\begin{eqnarray*} M := \left\{ \left(x,y\right) \in \mathbb R^{2} | y^{2} = x^{2} + x^{3} \right\} \subset \mathbb R ^{2} \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass die Kurve $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R^{2} , t \mapsto \left(t^{2}-1, t^{3}-t\right) \end{eqnarray*}$ surjektiv auf $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ abbildet.

Hinweis: Betrachten Sie Geraden durch den sog. Doppelpunkt (0,0)."

Meine Ideen:
Was Surjektivität bedeutet ist mir glaube ich klar: jedes Bild aus der Wertemenge hat ein Urbild im Definitionsbereich.
Allerdings weiß ich nicht, was ich mit dem Hinweis anfangen soll...!?

Kann mir jemand helfen?

21.10.2012, 10:41

Mystic

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RE: Surjektivität zeigen - Newtonscher Knoten

Zitat:

Original von huefte
Allerdings weiß ich nicht, was ich mit dem Hinweis anfangen soll...!?

Eigentlich sollte das doch klar sein: Du musst nur die Geraden y=kx durch den Ursprung mit der Kurve schneiden und den zweiten Schnittpunkt ermitteln... Du erhältst dann für diesen eine Parameterdarstellung in k ...

21.10.2012, 11:06

huefte

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Zitat:

Du musst nur die Geraden y=kx durch den Ursprung mit der Kurve schneiden und den zweiten Schnittpunkt ermitteln...

Wie ermittele ich den Schnittpunkt denn? Normalerweise muss ich beide Funktionsterme nach der gleichen Variable auflösen und dann gleichsetzen.

Mit was muss ich denn y=kx gleichsetzen? Ich wüsste jetzt zB nicht, wie ich den Term der Kurve nach y auflösen soll...

Ich ahne, dass ich mich sehr blöd anstelle. Mir kommts gerade so vor, als hätte ich noch nie was mit Mathe zu tun gehabt. Dennoch hoffe ich, dass ihr nicht an mir verzweifelt.

21.10.2012, 11:18

Mystic

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Naja, du hast zwei Gleichungen, nämlich

$\begin{eqnarray*} y=kx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y^2=x^2+x^3 \end{eqnarray*}$

und diese musst du nach x und y auflösen, wobei du weißt (oder besser voraussetzt), dass $\begin{eqnarray*} (x,y) \ne (0,0) \end{eqnarray*}$ ist... In der Lösung bekommst du für x und y Ausdrücke in dem Parameter k...

21.10.2012, 16:12

huefte

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Ach stimmt Hammer

Also nach y auflösen ergibt Folgendes:

$\begin{eqnarray*} k=\pm \sqrt{\frac{x^{2}+x^{3}}{x^{2}} } \end{eqnarray*}$

Aber wie löse ich $\begin{eqnarray*} y^{2} = x^{2} + x^{3} \end{eqnarray*}$ nach x auf? verwirrt

Der Beweis endet damit, dass ich alle Schnittpunkte in Abhängigkeit von x und y angeben kann, oder?

An der Stelle vielen Dank für deine Hilfe bis hierhin!

21.10.2012, 18:48

Mystic

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Zitat:

Original von huefte
Ach stimmt Hammer

Hm, du solltest doch die beiden Gleichungen nach x und y auflösen und k quasi als bekannt ansehen!!! Statt dessen machst du es genau andersherum und löst die Gleichung nach k auf... unglücklich

22.10.2012, 07:21

huefte

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Also, ich hab Folgendes gemacht.

$\begin{eqnarray*} y=kx \end{eqnarray*}$ ist nach y aufgelöst.

$\begin{eqnarray*} y^{2} =x^{2} + x^{3} \end{eqnarray*}$ nach y auflösen ergibt $\begin{eqnarray*} y =\pm \sqrt{ x^{2} + x^{3}} \end{eqnarray*}$ .

Um den Schnittpunkt zu errechnen, muss ich diese Terme doch gleichsetzen:

$\begin{eqnarray*} xk= \sqrt{ x^{2} + x^{3}} \end{eqnarray*}$ . Oder hab ich dich bis hierhin schon falsch verstanden? Muss ich das jetzt nach x auflösen?

22.10.2012, 07:53

Mystic

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Du machst hier für diese lächerliche GS wirklich alles falsch, was man überhaupt nur falsch machen kann... Kaum zu glauben, dass wir hier in der Hochschulmathematik sind... unglücklich

Tatsächlich muss man ja nur y=kx in die andere Gleichung einsetzen (warum in aller Welt machst du das nicht???), dann die Gleichung

$\begin{eqnarray*} k^2x^2=x^3+x^2 \end{eqnarray*}$

durch x² kürzen (warum ist das erlaubt?) und das Ergebnis für x steht schon fast da...

22.10.2012, 09:19

huefte

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Meinst du, ich bin stolz drauf, dass ichs nicht kann...!?

Diese Lösung hatte ich tatsächlich auf meinem Blatt stehen, nachdem ich den letzten Post gemacht habe. $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ kann ich kürzen, weil $\begin{eqnarray*} \left(x, y\right) \neq \left(0,0\right) \end{eqnarray*}$ gilt.
Das Ergebnis ist somit $\begin{eqnarray*} x= k^{2} - 1 \end{eqnarray*}$ .

Als Schnittpunkt erhalte ich $\begin{eqnarray*} \left(k^{2}-1, k^{3}-k\right) \end{eqnarray*}$ , der logischerweise auf der Kurve liegt.

Jetzt muss ich noch per Induktion beweisen, dass das auch für andere $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gilt. Oder?

22.10.2012, 09:49

Mystic

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RE: Surjektivität zeigen - Newtonscher Knoten

Zitat:

Original von huefte
Jetzt muss ich noch per Induktion beweisen, dass das auch für andere $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gilt. Oder?

Hm, du bringst aber auch alles durcheinander!... k ist doch irgendein Element in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , wie willst du da mit Induktion arbeiten, was ja nur für Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ funktioniert. verwirrt

Schau doch bitte nochmal die Angabe an.:

Zitat:

Original von huefte
Meine Frage:
"Wir betrachten die Menge $\begin{eqnarray*} M := \left\{ \left(x,y\right) \in \mathbb R^{2} | y^{2} = x^{2} + x^{3} \right\} \subset \mathbb R ^{2} \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass die Kurve $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R^{2} , t \mapsto \left(t^{2}-1, t^{3}-t\right) \end{eqnarray*}$ surjektiv auf $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ abbildet.

Was dort t genannt wird, habe ich k genannt, ansonsten ist da kein Unterschied, d.h., das war's schon und wir sind fertig... Feierabend! Wink

22.10.2012, 10:28

huefte

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Oh Mann

Vielen, vielen Dank für deine Hilfe Freude

Rückblickend hab ich mich ja wirklich $\begin{eqnarray*} doof^{17} \end{eqnarray*}$ angestellt.

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