Aussagenlogik

21.10.2012, 13:01

maho12

Aussagenlogik

Meine Frage:
Hallo alle zusammen.
Ich sitz gerade über einer Aufgabe wo ich nicht richtig weiter komme.
Es geht darum, zu sagen ob die Aussage wahr oder falsch ist (mit Begründung).
$\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb N \exists m\in \mathbb N \forall k\in \mathbb N : m>n \wedge (k\geq m\vee k\leq n) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Idee bis jetzt war: Das die Aussage "Für jedes n in den Natürlichen Zahlen gibt es ein m in den Natürlichen Zahlen, welches größer als n ist." bis hier hin wahr ist. Aber den Teil mit dem k, wie der mit in die Aussage sprachlich genommen wird, versteh ich nicht.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Dnake schon mal.

21.10.2012, 14:50

DP1996

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"Für jede natürliche Zahl n existiert eine natürliche Zahl m so, dass für alle natürlichen Zahlen k gilt, dass m größer ist als n und dass entweder k größer/gleich m oder k kleiner/gleich n ist."

21.10.2012, 15:07

maho12

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Ok, danke. Also ist die Aussage wahr.
Kann ich die Begründung mit einem Beispiel machen?

21.10.2012, 15:15

DP1996

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ja, die Aussage ist wahr.
Nein, denn du hast letztenendes eine Allaussage ("Für alle n...")

21.10.2012, 15:30

maho12

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Wie soll ich das dann begründen, wenn das gefordert wird?

21.10.2012, 15:38

DP1996

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Durch einen Beweis.
Im Grunde genommen ist der recht einfach:
1. wähle zu einem beliebigen natürlichen n die passende Zahl m (so, dass die Aussage für alle natürlichen k erfüllt wird).
2. zeige, dass die Aussage auch tatsächlich mit dem gewählten m für alle natürlichen k erfüllt wird.

21.10.2012, 15:46

maho12

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Also nehme ich mir z.B. n=4 und m=5 damit ist k<4 , z.B. k=3, bzw. k>5, z.B. k=6.

21.10.2012, 15:50

DP1996

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Zitat:

damit ist k<4 , z.B. k=3, bzw. k>5, z.B. k=6

Nicht ganz, korrekt ist $\begin{eqnarray*} k\leq4 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} k\geq5 \end{eqnarray*}$ .

Wenn du jetzt noch allgemein die beiden Fragen, die ich oben hinschrieb, beantwortest, bist du fertig.

21.10.2012, 15:52

maho12

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Ohje. Nagut, ich werd's erstmal versuchen. Und bestimmt mich später nochmal melden. Danke aber erstmal. smile

21.10.2012, 17:19

maho12

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Geht das als Beweis:
entweder gilt $\begin{eqnarray*} k\leq n \end{eqnarray*}$ (k<n bzw. k=n) oder
$\begin{eqnarray*} k\geq m \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} k\geq n+ 1 \end{eqnarray*}$ (k>m bzw. k=m)
für m gilt also: m:=n+1
m=n+1>n

21.10.2012, 17:25

DP1996

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Zitat:

Original von maho12
$\begin{eqnarray*} k\geq m \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} k\geq n+ 1 \end{eqnarray*}$ (k>m bzw. k=m)

Von der Notation her ist das falsch, du schreibst besser gleich $\begin{eqnarray*} k\geq m = n+1 \end{eqnarray*}$ und setzt das m:=n+1 an den Anfang. Ansonsten passt es.
(Das Prinzip dahinter ist natürlich, dass es in IN keine Zahl k zwischen einer Zahl n und dem Nachfolger von n geben kann)

21.10.2012, 17:37

maho12

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Stimmt. Aber wenn der Beweis so ansich funktioniert ist gut. Oder sollte man das Prinzip dahinter umgehen?

21.10.2012, 17:41

DP1996

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Ich würde es hinschreiben, schaden kann es nicht Augenzwinkern