Differentialgleichung lösen

21.10.2012, 13:40

thps

Differentialgleichung lösen

Meine Frage:
Hallo Matheboard,

Ich habe eine Diffentialgleichung durch Trennung der Variablen zu lösen und hänge dabei an einem Punkt fest. Vermutlich fehlt es mir da einfach an den Grundlagen, aber ich finde keinen Weg weiter unglücklich

Hier ersteinmal die aufgaben(schon auf die richtige Form umgestellt):

$\begin{eqnarray*} Y' = (1-Y)² \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Als erstes habe ich die Gleichung auf die Form

$\begin{eqnarray*} \int(\frac{1}{Y²-2Y} dY) = \int(1 dx) \end{eqnarray*}$

umgestellt und (versucht) die Linke (und rechte) Seite zu integrieren (mit der Substitutionsmethode).

$\begin{eqnarray*} \int(\frac{1}{Y²-2Y} dY) = \frac{1}{2Y-2}ln|Y²-2Y| + c \end{eqnarray*}$

Leider gelingt es mir an diesem Punkt nicht auf eine halbwegs anständige Form zu kommen.

habt ihr da einen Tipp für mich?

Mfg

THPS

21.10.2012, 13:46

Mulder

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RE: Differentialgleichung lösen

Zitat:

Original von thps
Meine Ideen:
Als erstes habe ich die Gleichung auf die Form

$\begin{eqnarray*} \int(\frac{1}{Y²-2Y} dY) = \int(1 dx) \end{eqnarray*}$

umgestellt [...]

Und wie?

Eigentlich erhält man doch

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{(1-Y)^2 } \, \dd Y= \int \dd x \end{eqnarray*}$

Den Nenner da jetzt auszumultiplizieren ist nicht zielführend und selbst wenn: Da ergäbe sich dann 1-2Y+Y². Was bei dir mit dieser 1 passiert ist, bleibt ein Rätsel.

Und noch ein Hinweis: Die Art und Weise, auf die du da integriert hast, ist völlig falsch! Nicht immer landet man beim natürlichen Logarithmus. Vielmehr ist

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{x^2} \, \dd x = \int x^{-2} \, \dd x = -x^{-1} +C \end{eqnarray*}$

Von der Form ist ja auch dein Integral (Kettenregel beachten, zur Not substituieren).

Und diese Faustregel beim Integrieren: "Durch innere Ableitung" dividieren, das klappt nur, wenn diese innere Ableitung konstant ist. Du siehst doch, dass du nun beim wieder Ableiten mit der Quotientenregel arbeiten müsstest, da würde etwas vollkommen anderes rauskommen. Kann also keine korrekte Stammfunktion sein.

21.10.2012, 14:34

thps

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Vielen Dank für deine Antwort,

Ich habe den Nenner jetzt mal nicht ausmultipliziert und auf die Selbe art und weise integriert und komme (fast) auf das richtige Ergebniss.

Deshalb verstehe ich noch nicht so richtig, warum meine Methode falsch ist unglücklich

( Ich habe diese Methode im übrigen von dieser Seite : http://www.frustfrei-lernen.de/mathemati...bstitution.html) .

21.10.2012, 15:55

Mulder

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Wichtig ist, dass bei einer Substitution jedes Y gemäß der Substitutionsvorschrift ersetzt wird. Ich greife mal dein Beispiel auf, wo du die 1 im Nenner vergessen hattest. Soll ja nur der Übung dienen. Wir haben

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{Y^2-2Y} \, \dd Y \end{eqnarray*}$

Wenn wir nun

$\begin{eqnarray*} Y^2-2Y=t \end{eqnarray*}$

substituieren, erhalten wir

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd t}{\dd Y} = 2Y-2 \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \dd t = (2Y-2) \, \dd Y \end{eqnarray*}$

Es ergibt sich (ich schreibe das jetzt mal mit den Variablen so durcheinander, damit es deutlich wird):

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{(2Y-2) \cdot t} \, \dd t \end{eqnarray*}$

So, jetzt ist aber immer noch ein Y im Integral enthalten, das sich nirgendwo wegkürzt. Man muss dieses Y jetzt noch gemäß der Substitutionsvorschrift ersetzen. Man müsste also

$\begin{eqnarray*} Y^2-2Y=t \end{eqnarray*}$

nach Y auflösen und das Y dann durch den von t abhängigen Ausdruck darstellen. Erst DANN könnte man nach t integrieren. Bloß wird das hier nicht weiter helfen, denn das Integral, das du dann erhälst, wird kein Stück besser sein als das, das du zu Beginn hattest.

Es geht ja nicht darum, ob eine Substitution "richtig" oder "falsch" ist. Man kann substituieren, wie man will. Die Frage ist nur: Hilft diese Substitution weiter oder nicht? Es geht ja darum, durch diese Substitution das Integral in ein neues Integral umzuwandeln, das einfacher ist.

Und nochmal: JEDES Y muss durch t ausgedrückt werden.

Hätte man z.B. von Anfang an das Integral

$\begin{eqnarray*} \int \frac{2Y-2}{Y^2-2Y} \, \dd Y \end{eqnarray*}$

gehabt, DANN hätte deine Substitution zum Ziel geführt. Denn DANN hätte man schlussendlich erhalten:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{2Y-2}{(2Y-2) \cdot t} \, \dd t \end{eqnarray*}$

Und da kürzt sich das (2Y-2) im Nenner mit dem im Zähler weg und es bleibt wirklich nur noch 1/t. übrig, was man dann zu ln(|t|) integrieren kann. Von dieser Art sind auch die Beispielaufgaben in deinem Link. Wir haben hier aber ein anderes Integral.

Bei den Beispielen in dem Link kürzt sich immer schön alles weg und man kann dann problemlos integrieren. Bei linearen Substitutionen bekommt man Probleme dieser Art sowieso nicht, denn bei einer Substitution der Form

$\begin{eqnarray*} t = ax+b \end{eqnarray*}$

ist immer

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd t}{\dd x} = a \end{eqnarray*}$

Also hat man hier nur eine Konstante. Und Konstanten sind in dieser Hinsicht nie ein Problem, denn laut Faktorregel bleiben Konstanten beim Integrieren und Ableiten immer einfach erhalten. Da kommt nirgends eine Variable vor, auf die man noch achten müsste.

21.10.2012, 17:57

thps

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Vielen Dank für deine sehr ausführliche Antwort, die sehr zum Verständniss beigetragen. Das würde ich mir mal von unseren Profs. wünschen.

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