Integrieren eines Halbkreises

21.10.2012, 14:07

kgV

Integrieren eines Halbkreises

Hallo,
Ich stehe grade vor einem kleinen Verständnisproblem:
Die Formel für einen Halbkreis um den Ursprung des Koordinatensystems in den oberen Quadranten ist diese:
$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{r^2-x^2} \end{eqnarray*}$ (Das sollte zwischen Betragsstrichen stehen, ich habe leider keine Ahnung wie man die schreibt)
Wenn ich das integriere, komme ich hierauf:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{r^2-x^2}= (r^2-x^2)^\frac{1}2 \rightarrow F(x)=\frac{2}3\cdot \frac{1}{-2}\cdot (r^2-x^2)^\frac{3}2=-\frac{1}3\sqrt[3]{r^2-x^2} \end{eqnarray*}$
Das Integral ist also dieses hier:
$\begin{eqnarray*} \int^r_{-r}\sqrt{r^2-x^2}\dx=(-\frac{1}3\sqrt[3]{(r^2-r^2)^2})-(-\frac{1}3\sqrt[3]{(r^2-(-r)^2)^2})=0 \end{eqnarray*}$
Das kann aber nicht sein, denn der TR spuckt mir etwas um 0.14135 aus

Danke im Voraus
kgV
Wink

PS. ich sollte vlt noch anmerken, dass ich mir die Integralrechnung aus Büchern selbst beibringe, also übersehe ich wohl etwas offensichtliches, nur was?

21.10.2012, 14:20

Riedel

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{r^2-x^2} \end{eqnarray*}$ (Das sollte zwischen Betragsstrichen stehen, ich habe leider keine Ahnung wie man die schreibt)
Wenn ich das integriere, komme ich hierauf:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{r^2-x^2}= (r^2-x^2)^\frac{1}2 \rightarrow F(x)=\frac{2}3\cdot \textcolor{red}{\frac{1}{-2}}\cdot (r^2-x^2)^\frac{3}2=-\frac{1}3\sqrt[3]{r^2-x^2} \end{eqnarray*}$

Das gehört dort nicht hin, das Integrationsgesetz lautet nämlich:

$\begin{eqnarray*} \int x^{n}dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \end{eqnarray*}$

Somit wäre es:

$\begin{eqnarray*} \int \sqrt{r² - x²}dx = \int (r² - x²)^{\frac{1}{2}}dx = \frac{(r² - x²)^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} = \frac{(r² - x²)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = {\frac{2}{3}} (r² - x²)^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

Die Stammfunktion mithin:

$\begin{eqnarray*} \int \sqrt{r² - x²}dx = {\frac{2}{3}} (r² - x²)^{\frac{3}{2}} + c \end{eqnarray*}$

21.10.2012, 14:23

Stefan_TM

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RE: Integrieren eines Halbkreises
Hallo,
das Integrieren ist falsch. Du darfst ( r^2-x^2) mit x nicht verwechseln.
Benütze die Substitution
t=r*sin(x)
dt= r*cos(x)dx, usw.
dann bis du die Wurzel los.

21.10.2012, 15:20

kgV

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Danke für die Antworten!
@ Riedel: Stimmt, ich hatte einfach die Kettenregel umgekehrt und das Gesetz dabei vergessen. Nur, das erlöst mich immer nicht von meinem eigentlichen Problem, nämlich, dass mein Ergebnis null wird
@ Stefan_TM: Wie gesagt, ich lerne das aus einem Buch, und Substitution ist da leider nicht drin. Mein versuch:

Ich substituiere $\begin{eqnarray*} t=r\cdot \sin x \rightarrow x=\arcsin \frac{t}r \end{eqnarray*}$
Daraus ergibt sich: $\begin{eqnarray*} \frac{\dx}{\operatorname{d}t}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{t^2}{r^2}}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\operatorname{d}t}{\dx}=r\cos x \end{eqnarray*}$

Das Integral müsste dann so aussehen:
$\begin{eqnarray*} \int \sqrt{r^2-x^2} \dx=\int \sqrt{r^2-\arcsin^2 \left(\frac{t}r\right)}\dx=\int \sqrt{r^2-\arcsin^2 \left(\frac{t}r\right)} \frac{\operatorname{d}t}{r\cos x} \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit?

21.10.2012, 16:47

Nofeys

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Hiho,
Das ist falsch herum.
Du müsstest x=r*sin(t) substituieren.
Dann erhälst du dx = rcos(t) dt

21.10.2012, 16:55

Stefan_TM

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Nofeys,
danke für die Korrektur!!!

21.10.2012, 16:57

Palästinenser

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Zitat:

Wie gesagt, ich lerne das aus einem Buch, und Substitution ist da leider nicht drin.

Es gibt drei "grundlegende" Techniken um die Stammfunktion zu finden, einer davon ist die Substitutionsmethode. Eigentlich sollte sie vorhanden sein. Was genau ist das denn für ein Buch?

Gruß

Palästinenser

21.10.2012, 19:05

kgV

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@ Palästinenser:
Das Buch ist folgendes: Hahn/Dzewas: Analysis Grundkurs (ist schon relativ alt, eignet sich aber laut meinem Mathelehrer gut zum Selbststudium)

@ Stefan_TM:
Das Integral ist dann das hier:
$\begin{eqnarray*} \int \sqrt{r^2-r^2\sin^2(t)} \ r\cos t \operatorname{d}t \end{eqnarray*}$
Umformen:
$\begin{eqnarray*} \int \sqrt{r^2(1-\sin^2(t))} \ r\cos t \operatorname{d}t \end{eqnarray*}$
Additionstheorem:
$\begin{eqnarray*} \int \sqrt{r^2\cos^2(t)} \ r\cos t \operatorname{d}t=\int r^2\cos^2(t)\operatorname{d}t \end{eqnarray*}$
Jetzt die Stammfunktion, oder?

21.10.2012, 19:22

Nofeys

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Das sieht gut aus.
Hast du eine Idee, wie man das weiter verarbeitet?

21.10.2012, 19:50

kgV

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Ich dachte an die Stammfunktion, bin aber irgendwie daran gescheitert, sie zu bilden.

Vlt. sollte ich jetzt rücksubstituieren, also das dt durch $\begin{eqnarray*} \frac{\dx}{r\cos(t)} \end{eqnarray*}$ ersetzen. Dann könnte ich kürzen...
Das Restintegral wäre dann:
$\begin{eqnarray*} \int r\cos(t) \dx \end{eqnarray*}$
Davon die Stammfunktion: $\begin{eqnarray*} r\sin(t) \end{eqnarray*}$
Dann auch das rücksubstituiert: $\begin{eqnarray*} \int x \dx \end{eqnarray*}$
Wird aber falsch sein, weil ich ja zuerst im Integranden die Variable austauschen müsste, oder?
Das dabei entstehende Integral sieht mir aber wiederum zu unhandlich aus:
$\begin{eqnarray*} \int r\cos\left(\arcsin\frac{x}r\right) \end{eqnarray*}$
Bin ich irgendwo auf dem richtigen Weg?

21.10.2012, 19:54

Cheftheoretiker

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Zieh das $\begin{eqnarray*} r^2 \end{eqnarray*}$ vor das Integral und denk an die Additionstheoreme, $\begin{eqnarray*} cos^2x=\frac{1+cos(2x)}{2} \end{eqnarray*}$ . Alternativ mit partieller Integration. smile

21.10.2012, 20:14

kgV

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Also:
$\begin{eqnarray*} r^2\int \frac{1+\cos(2t)}2\operatorname{d}t=r^2\left[\frac{t}2+\frac{\sin2t}4\right] \end{eqnarray*}$
Rücksubstitution:
$\begin{eqnarray*} \frac{r^2t}2+\frac{r^2\sin2t}4=\frac{r^2\arcsin\frac{x}r}2+\frac{r^2\sin\left(2\arcsin\frac{x}{r}\right)}{4} \end{eqnarray*}$
Das wäre dann noch über das Additionstheorem für Doppelwinkel zu vereinfachen, aber ich muss für heute weg. Stimmt das denn überhaupt bis hierher?
Lg

21.10.2012, 20:39

Cheftheoretiker

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Ich habe es mal nachgerechnet und kann dein Ergebnis bestätigen. Freude

22.10.2012, 20:56

kgV

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Danke an alle für die Hilfen smile

Lg
kgV

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