Beweis Bijektivität

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Tenacious Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Bijektivität
Hallo,

ich soll zeigen dass die Abbildung mit bijektiv ist.


Also ich weiß das das die Abbildung injektiv und surjektiv seien muss und auch was die Begriffe bedeuten, aber die 2 Elemente die abgebildet werden verwirren mich. Ich kenne das sonst nur mit einem Element á la f(k) etc.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Bijektivität
Das ändert aber an der prinzipiellen Vorgehensweise ja nichts. Du nimmst dir zwei Elemente (ein Element ist halt immer ein Tupel): Seien



Dann ist zu zeigen: Wenn



gilt, dann folgt daraus , insbesondere also und . Versuch, das zu zeigen. Dann hast du schon mal die Injektivität.
Tenacious Auf diesen Beitrag antworten »

Wie forme ich die Gleichung am besten um, damit man sieht dass ?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Hier muss man ein bisschen hingucken und überlegen. Zunächst mal die -1 auf beiden Seiten weg.



Wir nehmen nun mal an. Dann nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit mal an und teilen auf beiden Seiten der Gleichung durch . Mach das mal und überleg dann weiter.
Tenacious Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie seh ichs nicht..



?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tenacious
Irgendwie seh ichs nicht..

Ja, inklusive Zeit für Lesen meiner Antwort und Verfassen dieser Antwort hast du jetzt... wieviel Denkarbeit investiert? Zwei, drei Minuten?



Ich sehe hier jetzt einen fetten Widerspruch! Warum kann das so nicht gelten?
 
 
Tenacious Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mulder
Ja, inklusive Zeit für Lesen meiner Antwort und Verfassen dieser Antwort hast du jetzt... wieviel Denkarbeit investiert? Zwei, drei Minuten?


Sorry bin etwas in Eile...

Zitat:


Ich sehe hier jetzt einen fetten Widerspruch! Warum kann das so nicht gelten?


Da wir annehmen das ist die linke Seite auf jeden Fall größer als die Rechte.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tenacious
Da wir annehmen das ist die linke Seite auf jeden Fall größer als die Rechte.

Nein. Egal, wie groß k,l oder m sind, du kannst das n immer genügend groß machen, dass die rechte Seite größer ist als die linke. Trifft also nicht zu und ist auch gar nicht der Punkt.
Tenacious Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt..

Und so wie es aussieht möchtest du mir nicht so einfach sagen was der Punkt ist oder smile ?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wenn ich dir diesen Schritt auch noch vorkaue, habe ich die Aufgabe komplett alleine gemacht. Ist aber hier nicht Sinn der Sache.

Also vergessen wir mal die ganzen obigen Bezeichnungen und Buchstaben. Angenommen, wir haben folgende Gleichung:



Gibt es natürliche Zahlen , so dass diese Gleichung erfüllt ist? Wenn nein, warum nicht?
Tenacious Auf diesen Beitrag antworten »

Nein weil links ungerade Zahlen stehen und rechts gerade. Das gleiche gilt dann für die eigentliche Gleichung. Ist es damit schon bewiesen? Also folgt daraus schon das k = m und l = n?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Aha! Also ist



für nicht möglich. Widerspruch, also muss sein.

Was kann man nun über folgern? Und warum?
Tenacious Auf diesen Beitrag antworten »

n und l sind auch gleich, da 2^(k-m) immer 1 ist?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Jep. Aus 2l+1=2n+1 folgt ja l=n.
Tenacious Auf diesen Beitrag antworten »

Danke smile

Wäre natürlich super wenn du jetzt noch ein paar Hinweise zur Surjektivität für mich hast smile
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Direkt für jede natürliche Zahl ein Urbild anzugeben dürfte schwierig werden. Weiß gar nicht, ob das möglich ist. Für die geraden Zahlen findet man ganz leicht ein Urbild, aber bei den ungeraden Zahlen wird's knifflig.

Also machen wir das mal anschaulich: Nimm dir irgendeine natürliche Zahl a. Du kannst diese Zahl ja so oft durch 2 teilen, bis nur noch was ungerades übrig bleibt.

Beispiel: Wenn man die Zahl a genau drei Mal durch 2 teilen kann (insgesamt also durch 8), ehe sie ungerade wird (nennen wir diese ungerade Zahl mal b, dann hat man



Bedenke: b ist ungerade.

Ist a von Anfang an ungerade, so hat man halt



Das kann mannun mit jeder natürlichen Zahl so machen. Hat man eine natürliche Zahl a, so gibt es also auf jeden Fall irgendeine Darstellung der Form



Hier war a also m mal durch 2 teilbar.

Also gibt es eine Darstellung der Form



Denn mit (2l+1) kann man ja jede ungerade Zahl darstellen.

Du kannst das ja einfach mal mit ein paar Zahlen austesten.

Das Ganze ist dann noch ein bisschen auszuformulieren und vernünftig aufzuschreiben, das überlasse ich dir. So würde ich es aber jedenfalls machen. Man muss ja nicht immer alles stumpf nur mit Formeln machen.

Erkenntnis dieser Aufgabe ist übrigens: JEDE natürliche Zahl lässt sich EINDEUTIG zerlegen in das Produkt einer Zweierpotenz und einer ungeraden Zahl.
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