Beweis Bijektivität |
21.10.2012, 16:48 | Tenacious | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Beweis Bijektivität ich soll zeigen dass die Abbildung mit bijektiv ist. Also ich weiß das das die Abbildung injektiv und surjektiv seien muss und auch was die Begriffe bedeuten, aber die 2 Elemente die abgebildet werden verwirren mich. Ich kenne das sonst nur mit einem Element á la f(k) etc. |
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21.10.2012, 17:14 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Bijektivität Das ändert aber an der prinzipiellen Vorgehensweise ja nichts. Du nimmst dir zwei Elemente (ein Element ist halt immer ein Tupel): Seien Dann ist zu zeigen: Wenn gilt, dann folgt daraus , insbesondere also und . Versuch, das zu zeigen. Dann hast du schon mal die Injektivität. |
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21.10.2012, 17:29 | Tenacious | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie forme ich die Gleichung am besten um, damit man sieht dass ? |
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21.10.2012, 17:37 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hier muss man ein bisschen hingucken und überlegen. Zunächst mal die -1 auf beiden Seiten weg. Wir nehmen nun mal an. Dann nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit mal an und teilen auf beiden Seiten der Gleichung durch . Mach das mal und überleg dann weiter. |
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21.10.2012, 17:44 | Tenacious | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Irgendwie seh ichs nicht.. ? |
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21.10.2012, 17:55 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, inklusive Zeit für Lesen meiner Antwort und Verfassen dieser Antwort hast du jetzt... wieviel Denkarbeit investiert? Zwei, drei Minuten? Ich sehe hier jetzt einen fetten Widerspruch! Warum kann das so nicht gelten? |
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21.10.2012, 18:03 | Tenacious | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sorry bin etwas in Eile...
Da wir annehmen das ist die linke Seite auf jeden Fall größer als die Rechte. |
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21.10.2012, 18:07 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein. Egal, wie groß k,l oder m sind, du kannst das n immer genügend groß machen, dass die rechte Seite größer ist als die linke. Trifft also nicht zu und ist auch gar nicht der Punkt. |
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21.10.2012, 18:14 | Tenacious | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja stimmt.. Und so wie es aussieht möchtest du mir nicht so einfach sagen was der Punkt ist oder ? |
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21.10.2012, 18:17 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, wenn ich dir diesen Schritt auch noch vorkaue, habe ich die Aufgabe komplett alleine gemacht. Ist aber hier nicht Sinn der Sache. Also vergessen wir mal die ganzen obigen Bezeichnungen und Buchstaben. Angenommen, wir haben folgende Gleichung: Gibt es natürliche Zahlen , so dass diese Gleichung erfüllt ist? Wenn nein, warum nicht? |
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21.10.2012, 18:25 | Tenacious | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein weil links ungerade Zahlen stehen und rechts gerade. Das gleiche gilt dann für die eigentliche Gleichung. Ist es damit schon bewiesen? Also folgt daraus schon das k = m und l = n? |
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21.10.2012, 18:29 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aha! Also ist für nicht möglich. Widerspruch, also muss sein. Was kann man nun über folgern? Und warum? |
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21.10.2012, 18:32 | Tenacious | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
n und l sind auch gleich, da 2^(k-m) immer 1 ist? |
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21.10.2012, 18:38 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jep. Aus 2l+1=2n+1 folgt ja l=n. |
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21.10.2012, 18:41 | Tenacious | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke Wäre natürlich super wenn du jetzt noch ein paar Hinweise zur Surjektivität für mich hast |
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21.10.2012, 19:08 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Direkt für jede natürliche Zahl ein Urbild anzugeben dürfte schwierig werden. Weiß gar nicht, ob das möglich ist. Für die geraden Zahlen findet man ganz leicht ein Urbild, aber bei den ungeraden Zahlen wird's knifflig. Also machen wir das mal anschaulich: Nimm dir irgendeine natürliche Zahl a. Du kannst diese Zahl ja so oft durch 2 teilen, bis nur noch was ungerades übrig bleibt. Beispiel: Wenn man die Zahl a genau drei Mal durch 2 teilen kann (insgesamt also durch 8), ehe sie ungerade wird (nennen wir diese ungerade Zahl mal b, dann hat man Bedenke: b ist ungerade. Ist a von Anfang an ungerade, so hat man halt Das kann mannun mit jeder natürlichen Zahl so machen. Hat man eine natürliche Zahl a, so gibt es also auf jeden Fall irgendeine Darstellung der Form Hier war a also m mal durch 2 teilbar. Also gibt es eine Darstellung der Form Denn mit (2l+1) kann man ja jede ungerade Zahl darstellen. Du kannst das ja einfach mal mit ein paar Zahlen austesten. Das Ganze ist dann noch ein bisschen auszuformulieren und vernünftig aufzuschreiben, das überlasse ich dir. So würde ich es aber jedenfalls machen. Man muss ja nicht immer alles stumpf nur mit Formeln machen. Erkenntnis dieser Aufgabe ist übrigens: JEDE natürliche Zahl lässt sich EINDEUTIG zerlegen in das Produkt einer Zweierpotenz und einer ungeraden Zahl. |
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