Totale Differenzierbarkeit

21.10.2012, 17:25

snugie88

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Totale Differenzierbarkeit

Hi.
Ich bereite mich auf mein Staatsexamen vor und muss nun nochmal die Theorie der Analysis durchgehen. Bei Klausuren habe ich (ich bereue es nun) immer mehr auf die Praxis, das anwenden, fokusiert. Nun muss ich aber theoretisch das erklären können.

Die Definition die ich habe, versteh ich allerdings garnicht:
Omega $\begin{eqnarray*} \subset \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ offen, f: Omega $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ bildet ab auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x^{0} \end{eqnarray*}$ element Omega, f heisst total diff'bar in $\begin{eqnarray*} x^{0} \end{eqnarray*}$ genau dann wenn $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ a = ( $\begin{eqnarray*} a_{1}, ..., a_{n} \end{eqnarray*}$ ) mit f(x)=f( $\begin{eqnarray*} x^{0} \end{eqnarray*}$ ) + a(x- $\begin{eqnarray*} x^{0} \end{eqnarray*}$ )+ R(x) =f( $\begin{eqnarray*} x^{0} \end{eqnarray*}$ ) + $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^n a_{j} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} x_{j} - x_{j}^{0} \end{eqnarray*}$ ) + R(x)

Ich hab mal etwas umher geschaut und da war es soweit ich es einsehen kann immer nur notwendig zu zeigen dass alle partiellen Ableitungen existieren (Beweis partielle Diff'barkeit) und es stetig ist (zu zeigen ist dabei das der Grenzwert von f für x gegen $\begin{eqnarray*} x^{0} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} y^{0} \end{eqnarray*}$ ist).

Würde mich über etwas Erleuchtung freuen, da ich in der Theorie von Ana leider echt mies bin. Bitte bitte helft mir traurig

traurig

21.10.2012, 19:45

snugie88

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RE: Totale Differenzierbarkeit
Irgendwie habe ich kein Glück hier im Forum....niemand is willig mir zu antworten

22.10.2012, 01:40

RavenOnJ

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es würde dir bestimmt jemand antworten, wenn du das sauber mit Latex darstellen würdest. Ich finde z.B. deinen Text sehr mühsam zu lesen und geh dann halt weiter.

Gruß
Peter

22.10.2012, 10:23

Ehos

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Die Formel, die du in deiner Frage angegeben hast, ist nichts anderes als die Taylorentwicklung einer Funktion f(x) bis zur 1.Ordnung. Wenn diese existiert, ist die Funktion total diff'bar. Diese Taylorentwicklung ist nichts anderes als die sog. Tangentialebene. Ich gebe mal 2 anschauliche Beispiele für die Dimensionen 1 und 2:

Beispiel 1:
Im 1-Dimensionalen lautet die Taylorentwicklung einer Funktion $\begin{eqnarray*} F(x_0+x)=f(x_0)'+f'(x_0)x \end{eqnarray*}$ . Das ist eine Geradenegleichung $\begin{eqnarray*} y=n+mx \end{eqnarray*}$ . Totale Differenzierbarkeit bedeutet hier also rein anschaulich, dass eine Tangente existiert. Hat man z.B. als Funktion einen Halbkreis $\begin{eqnarray*} y=\sqrt{R^2-x^2} \end{eqnarray*}$ , so ist die Tangente "am Norpol" $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ die wagerechte Gerade y=R. Dagegen kann man an die Funktion $\begin{eqnarray*} y=|x| \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ keine Tangente anlegen, weil diese Funktion dort eine "Spitze" hat.

Beispiel 2:
Im 2-Dimensionalen lautet die Taylorentwicklung einer Funktion $\begin{eqnarray*} F(x_0+x,y_0+y)=f(x_0,y_0)+\tfrac{\partial f}{\partial x}x+\tfrac{\partial f}{\partial y}y \end{eqnarray*}$ . Das ist eine Ebenengleichung. Totale Differenzierbarkeit bedeutet hier, dass man an die Funktion ine Tangentialebene (="Brett") anlegen kann. Hat man z.B. eine Halbkugel $\begin{eqnarray*} z=\sqrt{R^2-x^2-y^2} \end{eqnarray*}$ , so ist z.B. die Tangentialebene "am Norpol" $\begin{eqnarray*} (x_0|y_0)=(0|0) \end{eqnarray*}$ die zur xy-Ebene parallele Ebene durch (0|0|R). Dagegen kann man an den Kegel $\begin{eqnarray*} z=\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ bei (x_0|y_0)=(0|0) keine Tangentialeben anlegen, weil dort die Spitze ist.

22.10.2012, 12:03

snugie88

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@Peter: Tut mir Leid, ich habe mir Mühe gegeben mit dem Formeleditor alles darzustellen. Ich werde versuchen es besser zu machen.

@Ehos: Erstmal vielen Dank, die erste produktive Antwort die ich auf Matheboard erhalte (bei meiner Frage zu linearen Algebra bekomme ich keine Antwort)

Also im eindimensionalen habe ich kein Problem mit Diff'barkeit, da untersuche ich den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwerte von der Differenzquotientenfunktion (entspricht Anstieg der Tangente) und sollten die nicht übereinstimmen und auch nicht "gestopft" werden durch weitere Angaban, ist es nicht diff'bar (wie bei $\begin{eqnarray*} |x| \end{eqnarray*}$ da funktioniert es nicht, da der linkssetige Tangentenanstieg nicht dem rechssetigen Tangentenanstieg um 0 entspricht)

Also im Fazit beim mehrdimensionalen: Ich schau mir also bei der Funktion die ich auf totale diff'barkeit untersuchen soll die Taylerentwicklung bis zur 1.Ordnung (also bis zur ersten Ableitung) an und schau ob diese existieren im Punkt $\begin{eqnarray*} (x_{0}) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (x_{k})^0 \end{eqnarray*}$ mit k=1,...,n

Wenn ich das mal in deinem Beispiel probiere: $\begin{eqnarray*} f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_{0} ,y_{0} )=\sqrt{0^{2}+0^{2}}=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x}x + \frac{\partial f}{\partial y}y \end{eqnarray*}$ mit der Kettenregel und umstellen bekomme ich dann: $\begin{eqnarray*} F(x_{0} ,y_{0})=\frac{x+y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \end{eqnarray*}$ wie kann ich nun daran ablesen das es nicht total diff'bar ist?

22.10.2012, 12:29

snugie88

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Warte mal ich habe ja das Taylorpolynom falsch gemacht:
$\begin{eqnarray*} T(x_{0} ,y_{0}) = f(x_{0} ,y_{0}) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_{0})(x - x_{0}) + \frac{\partial f}{\partial y}(y_{0})(y - y_{0}) \end{eqnarray*}$

Also:
$\begin{eqnarray*} f(x_{0} ,y_{0} ) = \sqrt{0^{2}+0^{2}} = 0<br /> \frac{\partial f}{\partial x}(x_{0})(x - x_{0}) = (x (\sqrt{x^{2}+y^{2}})) (x_{0})(x - x_{0}) = 0x = 0<br /> \frac{\partial f}{\partial y}(y_{0})(y - y_{0}) = (y (\sqrt{x^{2}+y^{2}})) (y_{0})(y - y_{0}) = 0y = 0 \end{eqnarray*}$

Demnach:
$\begin{eqnarray*} T(x_{0} ,y_{0}) = f(x_{0} ,y_{0}) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_{0})(x - x_{0}) + \frac{\partial f}{\partial y}(y_{0})(y - y_{0}) = 0 \end{eqnarray*}$

Und trotzdem die Frage warum sagt das mir, oder wie sagt das mir, dass es nicht total diffbar ist?

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22.10.2012, 12:40

EinGast

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RE: Totale Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von snugie88
Die Definition die ich habe, versteh ich allerdings garnicht:
Omega $\begin{eqnarray*} \subset \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ offen, f: Omega $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ bildet ab auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x^{0} \end{eqnarray*}$ element Omega, f heisst total diff'bar in $\begin{eqnarray*} x^{0} \end{eqnarray*}$ genau dann wenn $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ a = ( $\begin{eqnarray*} a_{1}, ..., a_{n} \end{eqnarray*}$ ) mit f(x)=f( $\begin{eqnarray*} x^{0} \end{eqnarray*}$ ) + a(x- $\begin{eqnarray*} x^{0} \end{eqnarray*}$ )+ R(x) =f( $\begin{eqnarray*} x^{0} \end{eqnarray*}$ ) + $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^n a_{j} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} x_{j} - x_{j}^{0} \end{eqnarray*}$ ) + R(x)

zunächst einmal ist diese Definition so nicht vollständig - es muss noch verlangt werden, dass der Restterm "genug schnell gegen 0 geht", genauer

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x^0}\frac{R(\|x-x^0\|)}{\|x-x^0\|}=0 \end{eqnarray*}$

Man schreibt das manchmal auch mit dem Landau-Symbol als $\begin{eqnarray*} f(x)=f(x^0)+a\cdot (x-x^0)+o(\|x-x^0\|) \end{eqnarray*}$
Ein oft benutztes Kriterium, um totale Differenzierbarkeit nachzuweisen, ist über die Stetigkeit der partiellen Ableitungen: Wenn alle partiellen Ableitungen $\begin{eqnarray*} f_{x_1},\dots,f_{x_n} \end{eqnarray*}$ in einer Umgebung des Punktes $\begin{eqnarray*} a\in\Omega \end{eqnarray*}$ existieren und stetig sind in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ total differenzierbar.

(Die Umkehrung davon ist übrigens falsch - wenn nicht alle partiellen Ableitungen in einem Punkt stetig sind, so kann die Funktion dort trotzdem total diffbar sein)

zu deinem Beispiel $\begin{eqnarray*} f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ : Wenn eine Funktion total diffbar ist in einem Punkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , so müssen insbesondere alle partiellen Ableitungen in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ existieren (das habt ihr sicher in der Vorlesung gesehen)...ist das hier erfüllt in $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ ?

22.10.2012, 13:48

snugie88

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RE: Totale Differenzierbarkeit
Ich hoffe es hat geklappt, da hab ich die betreffende Passage aus dem Skript eingefügt.
Die Definition war genau so, aber in dem anschliessenden Satz haben wir das mit dem Grenzwert vom Rest.

Zu deiner Beschreibung: Ich untersuche also ob die partiellen Ableitungen in $\begin{eqnarray*} (x_{0}, y_{0}) = (0, 0) \end{eqnarray*}$ existieren, richtig?
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x} = 2x\frac{1}{2} (x^{2} + y^{2})^{\frac{-1}{2}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \end{eqnarray*}$
analog $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \end{eqnarray*}$

So nun betrachtet ich dies für
$\begin{eqnarray*} (0,0) \Rightarrow <br /> \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = 0<br /> \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = 0 \end{eqnarray*}$

Also ist es nicht total diff'bar weil die partiellen Ableitungen Null werden, ja?

22.10.2012, 13:57

RavenOnJ

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Deine partiellen Ableitungen stimmen, aber deine Schlussfolgerung für (0,0) stimmt nicht. Überleg dir mal, wie die Funktion beispielsweise für y = 0 oder x = 0 aussieht.

Gruß
Peter

22.10.2012, 15:50

snugie88

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RE: Totale Differenzierbarkeit
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x} = 2x\frac{1}{2} (x^{2} + y^{2})^{\frac{-1}{2}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \end{eqnarray*}$
analog $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \end{eqnarray*}$
Wenn ich in diese Gleichung x= y = 0 einsetze werden doch beide partiellen Ableitungen = 0. Oder nicht?

Also ich habe ja die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \end{eqnarray*}$ und du, Peter, sagst ich soll schauen was passiert wenn ich abwechselnd x = 0 und y = 0 einsetze, ja?
$\begin{eqnarray*} x = 0 \Rightarrow f(0, y) = \sqrt{y^{2}}<br /> y = 0 \Rightarrow f(x, 0) = \sqrt{x^{2}} \end{eqnarray*}$

Hmm und was sagt mir das über totale diff'barkeit?

Ach oder soll ich mir die partiellen Ableitungen nicht für x und y = 0, sondern abwechselnd für x = 0 und y = 0 anschauen?
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \Rightarrow x = 0: \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Rightarrow y = 0: \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^{2}}} = \frac{x}{x} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \Rightarrow x = 0: \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{y^{2}}} = \frac{y}{y} = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Rightarrow y = 0: \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{eqnarray*}$

Und da die jeweils verschieden sind, ist es nicht total diff'bar? (Was wäre dann wenn bei der partiellen Ableitung nach x die übereinstimmen und bei der partiellen Ableitung nach y beispielsweise nicht? Und was wenn die übereinstimmen und 1) den gleichen Wert haben oder 2) übereinstimmen und die gleiche Gleichung haben, oder 3) die nicht übereinstimmen aber gleichungen raus kommen und nicht Werte im $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

22.10.2012, 16:00

RavenOnJ

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Du solltest beachten, dass
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x^2}} = \frac{x}{\left|x\right|} \end{eqnarray*}$
also je nachdem, ob $\begin{align*} x <0 \end{align*}$ oder $\begin{align*} x >0 \end{align*}$ ergibt das -1 oder +1. Wie würde es für $\begin{align*} x =0 \end{align*}$ aussehen?

Gruß
Peter

22.10.2012, 16:35

snugie88

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Das stimmt da ich hab den Betrag ignoriert und je nachdem kommt dann +1 oder -1 raus, aber das ändert ja nichts oder? Also meine Fragen zeigten ja schon das ich noch nicht weiss was mir die Ergebnisse sagen sollen, demnach kann ich nun auch nicht sagen was nun das Resultat sein soll

22.10.2012, 17:45

RavenOnJ

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Das zeigt, dass die partiellen Ableitungen im Punkt (0,0) nicht existieren. Totale Differenzierbarkeit ist eine schärfere Bedingung als die Existenz der partiellen Ableitungen, d.h. wenn die part. Abl. schon nicht existieren, dann kann auch keine totale Differenzierbarkeit vorliegen. Es gibt durchaus Funktionen, bei denen die partiellen Ableitungen in einem Punkt vorhanden sind, die aber dort nicht total differenzierbar sind. Ich denke da z.B. an eine Schraubenfläche mit der z-Achse als Drehachse. Die partiellen Ableitungen existieren in (0,0), man kann aber keine lineare Approximation für die Funktion in diesem Punkt konstruieren.

Gruß
Peter

22.10.2012, 17:56

snugie88

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Was zeigt das denn nun?
1) Weil die partiellen Ableitungen für x=0 und y=0 verschieden sind?
2) Weil dort keine Gleichung heraus kommt, sondern Werte?

So wie ich das verstehe möchte es noch einmal zusammenfassen:

Wenn ich eine Funktion auf totale Differenzierbarkeit im mehrdimensionalen untersuche, dann betrachte ich die partiellen Ableitungen.
Diese betrachte ich dann abwechselnd wie sie sich an der problematischen Stelle verhalten (Im Beispiel bei 0).
Hier bin ich unsicher, ich nehme an es reicht das bei der partiellen Ableitung nach x die jeweiligen Resultate übereinstimmen und bei y analog das gleiche [die Ergebnisse bei allen 4 kann ja nicht übereinstimmen da es ja nach verschiedenen Variablen abgeleitet wurde].
Stimmen diese überein ist es total diff'bar, da dann die partiellen Ableitungen existieren und (dadurch das sie dann auch in dem zu untersuchenden Punkt übereinstimmen) dort stetig sind.

Ist das so richtig?

22.10.2012, 17:59

RavenOnJ

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Denk mal über das Beispiel der Schraubenfläche aus meinem letzten posting nach und über deren partielle Ableitungen im Punkt (0,0).

Gruß
Peter

22.10.2012, 18:01

snugie88

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Das zeigt, dass die partiellen Ableitungen im Punkt (0,0) nicht existieren. Totale Differenzierbarkeit ist eine schärfere Bedingung als die Existenz der partiellen Ableitungen, d.h. wenn die part. Abl. schon nicht existieren, dann kann auch keine totale Differenzierbarkeit vorliegen. Es gibt durchaus Funktionen, bei denen die partiellen Ableitungen in einem Punkt vorhanden sind, die aber dort nicht total differenzierbar sind. Ich denke da z.B. an eine Schraubenfläche mit der z-Achse als Drehachse. Die partiellen Ableitungen existieren in (0,0), man kann aber keine lineare Approximation für die Funktion in diesem Punkt konstruieren.

Gruß
Peter

Da haben wir fast gleichzeitig gepostet, also war das nur partielle diff'barkeit die ich damit gezeigt bzw. eben nicht gezeigt habe und deshalb kann es auch nicht total diff'bar sein.

Aber was mache ich nun um zu zeigen dass etwas total diff'bar ist: Zeige ich dann zum einen das es partiell diff'bar in dem Punkt ist (so wie wir das am Beispiel gemacht haben) und zusätzlich noch das es darin stetig ist?

22.10.2012, 18:09

RavenOnJ

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genau, du müsstest noch die Stetigkeit zeigen. Diese beiden Bedingungen reichen aus für die totale Differenzierbarkeit. Die Schraubenfläche ist z.B. im Punkt (0,0) nicht stetig.

Gruß
Peter

22.10.2012, 19:28

snugie88

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Okay...ich habe das Gefühl nun kommen wir doch zu etwas Verständnis in meinem Kopf.

Nun da ich partielle Differenzierbarkeit geschnallt habe, wäre da noch Stetigkeit im mehrdimensionalen.
Laut meiner Definition:
$\begin{eqnarray*} f:\Omega \rightarrow \mathbb R^{m}, x^{0} \in \Omega \end{eqnarray*}$ heißt stetig in $\begin{eqnarray*} x^{0} \in \Omega \Leftrightarrow \lim_{x \to x^{0}} f(x) = y^{0} \end{eqnarray*}$

Wenn wir mit unserer ursprünglichen Aufgabe gehen (auch wenn sie nicht partiell diff'bar ist)
$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x^{0}} f(x,y) = \lim_{x \to x^{0}} \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{ y^{2}} = \pm y \end{eqnarray*}$ das ist ja dann nur für $\begin{eqnarray*} y=0: y^{0} \end{eqnarray*}$

22.10.2012, 19:42

RavenOnJ

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die Funktion ist stetig im Punkt (0,0), das ist richtig. Egal wie du dich an den Punkt annäherst, es ergibt immer 0. Zur geometrischen Vorstellung: Das ganze ist ein auf der Spitze stehender Kegel.

Gruß
Peter

22.10.2012, 20:08

snugie88

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Gut Peter, ich dank dir. Gott

Gott

Totale diff'barkeit, partielle diff'barkeit und Stetigkeit haben dank dir Einzug in mein Gehirn gewonnen. Nun seiest du erlöst von mir Freude

Freude

Aber falls du auch Bewandt in Linearer Algebra bist könntest du mir hier noch helfen verwirrt

verwirrt

Basis, Dimension, Rang

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