Unabhängigkeit bedingte Erwartung

21.10.2012, 18:14	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Unabhängigkeit bedingte Erwartung Sei $\begin{eqnarray} X \in L^2(\mathcal{A}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathcal{F} \subseteq \mathcal{A} \end{eqnarray}$ eine Unter-sigma-Algebra. Gilt dann, dass $\begin{eqnarray} X-\mathbb{E}(X\|\mathcal{F}) \end{eqnarray}$ unabhängig von $\begin{eqnarray} \mathcal{F} \end{eqnarray}$ ? Da man die bedingte Erwartung als Orthogonalprojektion auf $\begin{eqnarray} L^2(\mathcal{F}) \end{eqnarray}$ definieren kann, hat man ja, dass $\begin{eqnarray} X-\mathbb{E}(X\|\mathcal{F}) \bot L^2(\mathcal{F}) \end{eqnarray}$ aber daraus folgt ja nicht zwingend die Unabhängigkeit, oder?
21.10.2012, 21:19	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat sich erledigt, die Antwort ist nein, da im Allgemeinen aus $\begin{eqnarray} \mathbb{E}(X\|\mathcal{F})=0 \end{eqnarray}$ nicht die Unabhängigkeit von X zu $\begin{eqnarray} \mathcal{F} \end{eqnarray}$ folgt. Ein Beispiel dazu findet sich hier: http://math.stackexchange.com/a/190825/36150

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