wie beweise ich, dass P ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist

21.10.2012, 19:04

Elementar

wie beweise ich, dass P ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist

Meine Frage:
Eine Aufgabe der ich unbedingt auf den Grund gehen muss, sonst wird das dieses Semester wohl nichts. Ich hoffe mit eurer Hilfe kann ich mein Verständnis ausbauen und diese Aufgabenstellung bearbeiten.

Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} Omega \end{eqnarray*}$ sein eine beliebige nichtleere Menge und $\begin{eqnarray*} x_{0} \in \Omega \end{eqnarray*}$ sei fixiert. Weiter sei $\begin{eqnarray*} \mathcal E \end{eqnarray*}$ eine beliebige $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - Algebra auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ .
Wir definieren P: $\begin{eqnarray*} \mathcal E \rightarrow \end{eqnarray*}$ [0,1] wie folgt: Ist $\begin{eqnarray*} x_{0} \in \end{eqnarray*}$ E, so soll P(E):=1 sein, und andernfalls 0.
Beweisen sie, dass P ein wahrscheinlichkeitsmaß ist.

Meine Ideen:
Ich denke, ich muss zeigen, dass P( $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ )=1 ist, aber ich habe keinen Plan wie ich diese Aufgabe angehen soll. Ich bin für jede Hilfe dankbar.

21.10.2012, 19:07

watcher

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist denn ein wahrscheinlichkeitsmaß definiert?
Was ist hier also zu zeigen?
Das ist das erste was du hier nachschlagen solltest

21.10.2012, 19:45

Elementar

Auf diesen Beitrag antworten »

Also Definition laut Vorlesung:
P wahrscheinlichkeitsmaß:
i) P ( $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ )=1
ii) $\begin{eqnarray*} E_{1} {,} E_{2} \cdot \cdot \cdot \in \mathcal E \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_{i}\cap E_{j} = \emptyset \end{eqnarray*}$ für i $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ j
P $\begin{eqnarray*} P \bigcup_{n=1}^\infty E_{n} = \sum_{n=1}^\infty P(E_{n}) \end{eqnarray*}$

z.z. Wahrscheinlichkeitsmaß von Omega =1 und das wahrscheinlichkeitsmaß meiner abzählbaren vereinigungen ist gleich der Summe vom wahrscheinlichkeitsmaß meiner Vereinigungen

Und wie mache ich das?

21.10.2012, 19:50

watcher

Auf diesen Beitrag antworten »

Indem du die Def. von P verwendest:
Ist $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$

Kurze Frage um meine Erklärungen darauf einzurichten:
ist das eine Erstsemesteraufgabe?

21.10.2012, 19:54

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau dann, wenn dieses $\begin{eqnarray*} x_0 \in E \end{eqnarray*}$ ist, gilt $\begin{eqnarray*} P(E) = 1 \end{eqnarray*}$ . Jetzt ist aber $\begin{eqnarray*} x_0 \in \Omega \end{eqnarray*}$ , also ist auch $\begin{eqnarray*} P(\Omega) = 1 \end{eqnarray*}$ . Damit wäre i) erledigt.

So mußt du das machen. Jetzt versuche dich an ii). Vielleicht hilft eine Fallunterscheidung: "Keines der $\begin{eqnarray*} E_n \end{eqnarray*}$ enthält $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ " und das Gegenteil davon. Berechne einfach beide Seiten der nachzuweisenden Beziehung getrennt.

21.10.2012, 20:56

Elementar

Auf diesen Beitrag antworten »

So, nun mal schauen:
sei $\begin{eqnarray*} P\left(\left\{ 0\right\} \right)= q {,} P\left(\left\{ 1\right\} \right)= p \end{eqnarray*}$
dann
P(q $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ p)=1+0=1

2. Semester (naja, ich gebe zu mit dem Beweisen und zeigen hab ich mir bisher schwer getan, aber alle sagen stochastik ist so schwer, da dacht ich, ich bin mal von Anfang an dabei)

21.10.2012, 21:02

watcher

Auf diesen Beitrag antworten »

Ums kurz zu machen:
Ich hab keine Ahnung was du da versuchst.

Warum sind 0 und 1 Elemente von E?
q und p sollen dann wollen Zahlen sein?

Was ist bitte die vereinigung zweier zahlen?
Wie kannst du W-keit dieser vereinigung berechnen?
Wie kommst du auf die Zahlen dahinter?

Was hat das überhaupt mit der Aufgabe zu tun?

Und wieso hältst du dich nicht an den sehr sinnvollen Weg von Leopold?

21.10.2012, 21:21

Elementar

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun zu meinem Verständnisproblem:

Die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung ist gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten
hierfür müssen E1 und E2 disjunkt sein, also keine Schnittmenge aufweisen

wenn ich nun annehme x0 ist in jedem En, dann sind sie doch nicht mehr disjunkt, oder

21.10.2012, 21:26

watcher

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

wenn ich nun annehme x0 ist in jedem En, dann sind sie doch nicht mehr disjunkt, oder

richtig. Deswegen kann dieser fall ja auch nicht eintreten.

21.10.2012, 21:35

Elementar

Auf diesen Beitrag antworten »

Der fall das x0 in keinem En ist kann also auch nicht eintreten. Somit muss x0 in höchstens einem E enthalten sein, weil sonst ja nicht mehr paarweise disjunkt. Ich denke soweit ist mein technisches Verständnis richtig. Nun muss ich das nur noch mathematisch aufschreiben, oder

21.10.2012, 21:39

watcher

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Der fall das x0 in keinem En ist kann also auch nicht eintreten.

Doch kann er, Woher kommt diese Behauptung?

Zitat:

Somit muss x0 in höchstens einem E enthalten sein, weil sonst ja nicht mehr paarweise disjunkt.

Das wiederum meint wohl das Richtige.

Was sagt das jetzt über $\begin{eqnarray*} P(\bigcup E_n) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \sum P(E_n) \end{eqnarray*}$

21.10.2012, 21:59

Elementar

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, das x0 in keinem E enthalten sein kann, wissen wir aus der Aufgabenstellung.

P(A) = Wahrscheinlichkeit x0 in E
P(B) = wahrscheinlichkeit x0 nicht in E
$\begin{eqnarray*} P(\left(A\cup B\right)= P\left(\left\{ x_{0}\in E{,} x_{0}\notin E\right\} \right) \end{eqnarray*}$ = ?

$\begin{eqnarray*} P\left(A\right)+ P\left(B\right) = P\left(\left\{ x_{0}\in E\right\} \right) + P\left(\left\{ x_{0}\notin E\right\} \right) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{E_{n} } +\frac{E_{n}-1 }{E_{n}} =1 \end{eqnarray*}$

21.10.2012, 22:09

watcher

Auf diesen Beitrag antworten »

ich kann dir überhaupt nicht folgen.

Was ist die Menge A was ist B?
Was hat das mit der zu zeigenden Bedingung zu tun?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} P(\left(A\cup B\right)= P\left(\left\{ x_{0}\in E{,} x_{0}\notin E\right\} \right) \end{eqnarray*}$

Wie kommst du auf diese Gleichheit?
Was soll eigentlich das sein $\begin{eqnarray*} \left\{ x_{0}\in E{,} x_{0}\notin E\right\} \end{eqnarray*}$ ?
So wie es da steht ist es wohl eine menge von Aussagen, die aber garantiert nicht Element der Sigma-Algebra ist, also etwas von dem diese P keine W-keit liefert.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{E_{n} } +\frac{E_{n}-1 }{E_{n}} =1 \end{eqnarray*}$

Woher kommen diese Werte?

Neue Frage »

Antworten »

wie beweise ich, dass P ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist

Verwandte Themen