Summenzeichen-Umformung

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21.10.2012, 20:21	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Summenzeichen-Umformung Meine Frage: Hallo! Eine kurze, aber entscheidende Frage: Wieso gilt die Umformung $\begin{eqnarray} 1- x^{n+1} = \sum\limits_{j=0}^n 1^{j}x^{n-j} \end{eqnarray}$ ??????? Meine Ideen: noch keine ideen...
21.10.2012, 20:45	Causal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summenzeichen-Umformung hi, sicher das diese Gleichung $\begin{eqnarray} \forall x \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ gilt? (Da du keine Bedingung für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ genannt hast, nehme ich das einfach mal an ) Beweise doch deine Gleichung per Vollständer Induktion und schau, ob diese Gleichung stimmt. Gruß, Causal
21.10.2012, 21:25	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summenzeichen-Umformung Hallo, es soll gelten für x ungleich 1 und n element der natürlichen zahlen sry, dass ich das nicht gleich geschrieben hab kannst du mir zeigen, wie man das mittels vollständiger induktion zeigt? weiters steht dann: daraus (aus vorher geschriebenem) folgt unmittelbar: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{j=0}^n x^{n-j} = \frac{1-x^{n+1} }{1-x} \end{eqnarray}$ Das versteh ich auch nicht, wieso das daraus folgt. Ich wär dir sehr dankbar, wenn du mir hilfst. Ich komm echt nicht mehr weiter...
21.10.2012, 21:34	Causal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summenzeichen-Umformung Moment, ich glaube deine Summe im ersten Beitrag stimmt nicht. Da muss doch ein minus hin oder? Gruß, Causal
21.10.2012, 21:37	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das folgt ganz sicher nicht daraus, denn die Summe ist in beiden Gleichungen dieselbe, kann also nicht gleichzeitig $\begin{eqnarray} 1-x^{n+1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{1-x^{n+1}}{1-x} \end{eqnarray}$ sein.
21.10.2012, 22:49	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Tschuldigung... Nein, kann minus, aber bei der ersten gleichung steht auf der rechten seite vor dem summenzeichen (1-x) Etnschuldigt nochmal die Schlampigkeit, aber mit dem Formeleditor komm ich nicht ganz zurecht Könnt ihr mir nun bitte bei meinem eigentlichen problem helfen? Danke schon mal
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21.10.2012, 22:51	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Sry, wollt nicht den "böse"-Smiley einfügen...
21.10.2012, 22:54	Causal	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also um es für die anderen Helfer deutlich zu machen, deine Summe sieht so aus: $\begin{eqnarray} 1 - x^{n+1} = (1-x)\left( \sum_{j=0}^{n} x^{n-j} \right) \end{eqnarray}$ Ist das korrekt?
21.10.2012, 23:06	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
nicht ganz, du hast das 1^j nach dem summenzeichen vor dem x vergessen
21.10.2012, 23:08	Causal	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube nicht, dass $\begin{eqnarray} 1^j \end{eqnarray}$ gravierend ist Nun beweise deine Gleichung per Vollständie Induktion. Dazu fängst du mit $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ an, dann kommt die Induktionsvoraussetzung und dann der Induktionsschluss, wo du von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ schließt. Gruß, Causal
21.10.2012, 23:15	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Umformung war Teil einer Induktion, bei der sie einfach 1 Schritt war auf dem Lösungszettel. Gibt es da vlt. irgendeine Rechenregel, dass das einfach das Gleiche ist. Kannst du mir sonst vlt. den ersten Schritt des induktionsschrittes anschreiben oder so? Aber es kommt mir komisch vor, dass da mehr dahinterstecken soll, weil das war einfach ein Schirtt in der lösung... Danke auf jeden fall
21.10.2012, 23:16	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurzer Einschub: Wenn Induktion nicht zwingend gefordert ist, würde ich empfehlen die rechte Seite einfach auszumultiplizieren. Bin dann aber für heute endgültig aus dem Thread raus, sorry für die Einmischung.
21.10.2012, 23:18	Causal	Auf diesen Beitrag antworten »
Kein Problem. Helferlein hat recht, probier es mal mit ausmultiplizieren. Gruß, Causal
21.10.2012, 23:21	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
das is ja genau das, was ich nicht kann... Ich kenn mich gar nicht aus mit rechenregeln bei summenzeichen
21.10.2012, 23:42	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
bitte erklärt mir zumindest, wie das geht, damit ich es dann selbst ausmultiplizieren kann! BITTE
21.10.2012, 23:48	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo ist denn das Problem? Du kannst doch sicher soetwas wie $\begin{eqnarray} (1-x)(1+x+x²) \end{eqnarray}$ ausmultiplizieren. Die Summe ist einfach nur eine kompaktere Darstellung des Sachverhalts
22.10.2012, 01:00	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich das richtig verstanden hab, müsste das dann so aussehen, oder? (1-x). x^(n-0) + (1-x).x^(n-1) + (1-x).x^(n-2) + ... + (1-x).x^(n-n) = x^n - x^(n+1) + x^(n-1) - x^n + x^(n-2) - x^(n-1) + ... + 1-x Und wie kann ich da dann weiter rausheben, dass ich auf die linke Seite komme? Und wieso folgt daraus dann unmittelbar: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{j=0}^n x^{n-j} = \frac{1-x^{n+1} }{1-x} \end{eqnarray}$ für alle n elemente der natürlichen zahlen? Wäre wichtig, dass ich (wir) das bis morgen (23.10.) noch hinkriege(n)...
22.10.2012, 01:28	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Na dann schau Dir die Summe mal genau an: $\begin{eqnarray} (1-x) \cdot x^{n-0} + (1-x) \cdot x^{n-1} + (1-x) \cdot x^{n-2} + ... + (1-x) \cdot x^{n-n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\textcolor{red}{x^n} - x^{n+1} \textcolor{blue}{+ x^{n-1}} \textcolor{red}{- x^n} + x^{n-2} \textcolor{blue}{- x^{n-1}}+ ... + 1-x \end{eqnarray}$
22.10.2012, 02:15	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, okay. Das, was du so schön rot und blau hervorgehoben hast, föllt weg, das ist klar. Aber das schwarzgeschirebene? Die Basis ist zwar gleich, aber der Exponent ist ja verschieden. Wie kann man da was herausheben oder zusammenziehen? ...Aber gut, es ist schon spät. Ich schlaf lieber mal ne Nacht drüber. Morgen kann ich möglicherweise wieder erst am Abend in das Forum schuen, aber ich wär dir sehr dankbar, wenn du mir dann trotzdem weiterhelfen kannst. Wenn ich mich den ganzen tag über nicht melde, bedeutet das nicht, dass ich das interesse an der aufgabe verloren hab, die ist wichtig für mich. Gute Nacht Bis morgen (eigtl. heute) dann
22.10.2012, 09:49	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn du das, was du von außen in die Summe reinmultiplizierst in der Summe als Potenz vorkommt, dann musst du nur die Grenzen der Summe anpassen. Bespiel: $\begin{eqnarray} (y+1)\sum_{k=0}^{n}(y+1)^k = \sum_{k=1}^{n+1}(y+1)^k \end{eqnarray}$ In deiner Aufgabe bekommst du dann die Differenz zweier Summen, die fast identisch sind. Durch geschickte Auspaltung dieser Summen, indem man einzelne Summenglieder rauszieht (welche?), lässt sich die Sache dann vereinfachen. Gruß Peter
23.10.2012, 01:20	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für den Hinweis. Ist von euch jetzt noch jemand online?
23.10.2012, 11:42	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls Du es oben noch nicht verstanden hast, hier noch das längst angeratene Beispiel: $\begin{eqnarray} (1-x)(1+x+x²+x³)=(1+\textcolor{red}{x+x²+x³})-(\textcolor{red}{x+x²+x³}+x^4)=1-x^4 \end{eqnarray}$ Das gleiche Prinzip gilt bei n: Es hebt sich fast alles raus.

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