limes kleiner gleich liminf

21.10.2012, 21:50

pablosen

limes kleiner gleich liminf

Im Massraum $\begin{eqnarray*} (X,A,\mu) \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ eine nicht-negative, messbare Funktionenfolge, die im Mass gegen f (nicht-neg., messbar) konvergiert.
Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \int f d\mu \le \liminf_{n \to \infty} \int f_n d\mu \end{eqnarray*}$ .
---- Ende Aufgabe

$\begin{eqnarray*} f_n\to f \text{nach Mass} \Rightarrow \mu(\{ |f_n-f|>\epsilon \})=0 \forall \epsilon>0 \end{eqnarray*}$

Was muss man hier weiter tun?

21.10.2012, 22:00

Causal

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RE: limes kleiner gleich liminf
Was musst du nun zeigen? Die obere oder untere Aussage?
Die obere sieht stark nach dem Lemma von Fatou aus...

Gruß, Causal

21.10.2012, 22:07

pablosen

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Okay

aber wie zeige ich, dass $\begin{eqnarray*} \int \lim_{n\to\infty} f_n d\mu = \int f d\mu \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} \int_{\{ |f_n-f|>\epsilon \}} f_n d\mu + \int_{\{ |f_n-f|\le \epsilon \}} f_n d\mu \end{eqnarray*}$ =???

21.10.2012, 22:11

Causal

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Damit du das Lemma von Fatou anwenden kannst, musst du zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim\inf\limits_{n \to \infty} f_n (x) = f(x) \end{eqnarray*}$ .
Ich weiß nicht, ob dieser Weg zum Ziel führt..
Probiers aus smile

21.10.2012, 22:14

pablosen

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Zitat:

Original von Causal
Damit du das Lemma von Fatou anwenden kannst, musst du zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim\inf\limits_{n \to \infty} f_n (x) = f(x) \end{eqnarray*}$ .
Ich weiß nicht, ob dieser Weg zum Ziel führt..
Probiers aus smile

Es reicht auch, zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} f_n = f \end{eqnarray*}$ da dann gilt
$\begin{eqnarray*} \liminf_{n\to\infty} f_n = \lim_{n\to\infty}f_n =f \end{eqnarray*}$

aber wie fang ich hier an? Konvergenz nach Mass hat ja nicht direkt was mit der punktweisen Konvergenz zu tun... so ohne Mass...?

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