Gruppen und Körper

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22.10.2012, 01:32	Der Ehrgeizige	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen und Körper Meine Frage: Also gute Nacht allesamt! Folgende Aufgaben müsste ich lösen. a) Zeigen Sie, dass Z2 $\begin{eqnarray} \equiv \end{eqnarray}$ ({0,1}) eine abelsche Gruppe ist, wobei die Addition durch die Verknüpfungstabelle bestimmt ist. b)Versehen Sie die Menge der linearen Funktionen F = {f: $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ , x--> f(x) = ax+b\|a,b $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ } mit einer Addition, sodass (F,+) eine Gruppe ist. Überprüfen Sie die Gültigkeit der Gruppenaxiome. Meine Ideen: a) hab ich keinen Schimmer b) Die Gruppenaxiome liste ich jetzt nicht auf die sind wohl bekannt. Wie bringe ich diese zur Geltung in b? wäre dankbar für jede Hilfe
22.10.2012, 07:52	Auli	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn dir die Gruppenaxiome wohl bekannt sind, warum rechnest du sie nicht nach? Du musst zeigen, dass für alle Elemente deiner Menge mit der jeweiligen Verknüpfung diese Axiome gelten. Also in deinem Beispiel bei b) also fängt man munter das rechnen an also zb jetzt für die Abgeschlossenheit musst du zeigen dass die Summe der Funktionen $\begin{eqnarray} f(x)+g(x) = a_{1}x + b_{1}+a_{2}x+b_{2} ... \end{eqnarray}$ wieder eine solche Darstellung hat, wie in der Aufgabe gegeben. Gruß
22.10.2012, 10:00	Der Ehrgeizige	Auf diesen Beitrag antworten »
f(x) + g(x) ??? wieso das denn ??? Also hier nochmal die Gruppenaxiome: 1. Assoziativität: Für alle Gruppenelemente a, b und c gilt: (a $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ c = a $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ (b $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ c). 2. Es gibt ein neutrales Element mit dem für alle Gruppenelemente gilt: a $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ e = e $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ a = a. 3. Zu jedem Gruppenelement existiert ein Inverses $\begin{eqnarray} a^{-1} \end{eqnarray}$ mit a $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a^{-1} \end{eqnarray}$ = e 4. Eine Gruppe heißt abelsch oder kommutativ, wenn zusätzlich das folgende Axiom erfüllt ist: Kommutativität: Für alle Gruppenelemente a und b gilt a $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ b = b $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ a (wenn dies nicht der Fall ist heißt die Gruppe nicht-abelsch bzw. nicht-kommutativ)
22.10.2012, 10:09	Auli	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kenne die Gruppenaxiome. Wenn du die dir vorliegende Definition verwendest, dürfte davor stehen, dass $\begin{eqnarray} +: F \times F \to F \end{eqnarray}$ gelten muss muss. Das musst du eben zuerst zeigen. (Man nennt das auch Abgeschlossenheit, man also bei Addition nicht aus der Menge rausfliegt) Für den Rest fängt man Analog an, also $\begin{eqnarray} f(x) + (g(x) + h(x)) = .... \end{eqnarray}$ und nutzt aus, dass danach alles reelle Zahlen sind, für die man die man ja die Rechenregeln kennt.
22.10.2012, 10:36	Der Ehrgeizige	Auf diesen Beitrag antworten »
ja aber wie zum guckuck zeige ich das? ich verstehe immer noch nicht was du mit dem f(x) + g(x) und jetzt h(x) meinst (a b) c = a (b c) = (c a) b = c (a b) ?? oder muss man jetzt das ax + b dort einsetzen
22.10.2012, 15:39	Der Ehrgeizige	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist falsch -.-
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22.10.2012, 16:08	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen und Körper hallo ehrgeiziger, (ich misch mich hier mal ein), ich glaube dir ist etwas grundsätzliches nicht klar, du hast zwar die gruppengesetze richtig zitiert, aber die elemente in dieser gruppe sind nicht zahlen, sondern lineare polynome, also ausdrücke der form ax+b, und deswegen musst du tatsächlich erstmal begründen, das wenn man hier zwei polynome miteinander verknüpft (also addiert), das ergebnis wieder ein lineares polynom ist und also auch in der gruppe liegt... gruss olie3
22.10.2012, 20:58	auch	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen und Körper Wir haben das gleiche Übungsblatt... Bin auch ratlos >.<
22.10.2012, 21:38	auch nochmal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen und Körper Wieso soll man zeigen dass zwei Funktionen aus F die in IR liegen miteinander addiert wieder eine Funktion aus IR ergibt? Und vor allem wie? Also wenn doch alle Elemente aus Fkt 1 in IR liegen, und alle aus Fkt 2, dann müssen die miteinander addiert doch auch in IR liegen, oder? Kann man nicht irgendwie so was sagen wie: wenn man die Elemente aus Fkt 1 als Teilmenge von F versteht und die Elemente aus Fkt 2 auch, dann ergibt doch die Vereinigung A u B auch eine Teilmenge von IR, oder? Was soll man da sonst noch sagen, oder ist das falsch?
22.10.2012, 22:06	Der Ehrgeizige	Auf diesen Beitrag antworten »
Also steh nicht nur ich ratlos da... wie beruhigend
22.10.2012, 22:22	Vorschlag	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ich jetzt einfach mal davon ausgehe, dass wir wirklich das gleiche Blatt haben ^^ kann ich dir nur sagen: ich habe es jetzt so gemacht, dass ichbei dem Bsp für die Gruppenaxiome einfach die Formel geändert habe (also aus Q = p/q etc habe ich F = ax + b gemacht und dann die u und v in dem Bsp statt für p und q, für a und b eingesetzt..). So hat man einen Ansatz, den man wenigstens nachvollziehen kann... O.o wer denkt sich auch so was aus, ich freu mich schon richtig auf die Klausur.. Und jetzt noch die anderen Aufgaben >.> nee, ich hab echt keine Lust
22.10.2012, 22:29	Auli	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, ihr tut euch aber schwer. Habt ihr sowas auch noch nie in der Vorlesung vorgerechnet bekommen? Deine Argumentation, dass die Funktion eine Abbildung von $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ stimmt schon, ist hier aber nicht unbedingt der springende Punkt. Also man muss zeigen, dass die ELEMENTE(f,g) der MENGE(F) zusammen mit der VERKNÜPFUNG(+) das ergeben, wasman eine Gruppe nennt. Ihr müsst das für jedes Element zeigen. Also fange ich mit der Abgeschlossenheit (die implizit in der Definition drin steckt). Ich nehme mir zwei Elemente her und zeige mit der Verknüpfung, dass mein dadurch entstehendes Element wieder ein Element meiner Menge ist: $\begin{eqnarray} f(x)+g(x) = a_{1}x + b_{1}+a_{2}x+b_{2} = (a_{1}+a_{2})x + b_{1}+b_{2} \end{eqnarray}$ Beim dritten "=" geht ein, dass R ein Körper ist also ich ausklammern, und vertauschen darf. definiere nun: $\begin{eqnarray} a_{3} = a_{1} + a_{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_{3} = b_{1} + b_{2} \end{eqnarray}$ also hat die neue Funktion eine darstellung: $\begin{eqnarray} a_{3}x + b_{3} \end{eqnarray}$ , da a3 und b3 reelle Zahlen sind ist $\begin{eqnarray} f(x)+g(x) \in F \end{eqnarray}$ die Verknüpfung also abgeschlossen Hoffe das Hilft ein wenig Gruss
22.10.2012, 22:42	auch wieder mal	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, danke, so habe ich es jetzt auch gemacht, bloß sie nicht a1x+b1 und a2x+b2 genannt, sondern u1x+u2 und v1x+v2. Und nein, wenn der Fragensteller und ich die gleiche Vorlesung besuchen (davon gehe ich mal aus), dann haben wir das nicht vorgerechnet , sondern nur die Gruppenaxiome erzählt bekommen. Naja, aber irgendwie komme ich mit den Begriffen Körper, Menge, Gruppe, Verknüpfung nicht so ganz klar, also ich hatte z.B. auch erst gedacht, dass das mit der Assoziativität hieße, man muss (jetzt in dem Bsp hier) zeigen, dass ax+b das gleiche ist wir b+ax statt zwei verschiedene a und b zu nehmen und dann die Terme a1x+b1 + a2x+b2 zu addieren... Naja, ich glaube mit dem Bsp auf dem Übungsblatt hab ich es einigermaßen hingekriegt. (Sorry, aber ich weiß nicht wie man die 1 bei a1 etc tiefstellt)

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