Lineare Unabhänigikeit

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Susanne34 Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhänigikeit
Meine Frage:
Hey Leute, ich habe eine kurze Frage, da ich bei dieser Aufgabe überhaupt keine Ahnung habe.

Aufgabenstellung lautet:

Es seien die Zahlen
Wie kann ich nun beweisen, dass x_1, x_2, x_3 genau dann linear unabhängig sind, falls .

Meine Ideen:
Was die Begrifflichkeiten angeht, habe ich mir schon das Skript angeschaut. Verstanden, was linear ab - bzw. unabhängig bedeutet, habe ich. Nur leider weiß ich nicht wie ich es bei dieser Aufgabe umsetzen muss. Wäre nett, wenn mir jemand dabei helfen könnte.

Edit (mY+): LaTeX berichtigt.
Susanne34 Auf diesen Beitrag antworten »

für i ungleich k.


Tut mir Leid. da hat leider was nicht funktioniert.
JuniorMathematiker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhänigikeit
also wir wissen nach def. gilt:

sind linear unabh. falls es a aus dem körper K gibt für die gilt

a1 * x1 + a2 * x2 + a3 * x3 = 0 allerdings nur für die triviale lösung also a1=a2=a3=0

so jetzt schreiben wir das auf:

a1 * x1 + a2 * x2 + a3 * x3 = 0

nach definition können wir aber für x1, x2, x3 auch etwas anderes einsetzen nämlich
(1,lambda_k, lambda^2_k)... und dann ist man zumindest mit der einen richtung mehr oder weniger fertig.

sorry, dass das jetzt optisch nicht so schön geworden ist aber ich bin etwas in eile.

hoffe ich habe keine fehler gemacht und dir hilft das etwas weiter smile

Edit (mY+): LaTeX berichtigt.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du zeigst also die lineare Unabhängigkeit für die 3 Vektoren



Eine Möglichket wäre, zu berechnen, dass die aus den Komponenten gebildete 3-reihige Determinante unter diesen Voraussetzungen ungleich Null ist.

Oder man löst das bereits oben angegebene lGS nach a1, a2, a3 auf und folgert dann daraus, dass dieses System nur die Lösung (0; 0; 0) besitzt.

(Sowohl bei der Determinantenumformung als auch bei der Gleichungsauflösung rechnet man o. B. d. A. mit zwei der drei Lambdas ungleich Null, weil höchstens nur eines Null sein kann)

mY+
Susanne34 Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit dem Determinantenverfahren habe ich bereits versucht. Allerdings komme ich da zu keiner richtigen Lösung. Wie würde das denn mit dem LGS funktionieren?

Ich muss ja 3 Gleichungen aufstellen und diese gleich Null setzen oder? Woher kommen denn dann die a_1, a_2, und a_3 auf einmal bzw. wie muss ich danach auflösen? Das verstehe ich nicht so recht.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Mit beiden sollte man ans Ziel kommen.
Bei der Determinante subtrahiert man das - fache der ersten Zeile von der zweiten und das - fache der 1. Zeile von der dritten und hat danach nur noch eine zweireihige Determinante zu berechnen, die entsprechend faktorisiert werden kann. Es sollte dann



werden (keine der Klammern ist Null) ...
_________________________________________

Beim lGS* geht man ähnlich vor, die resultierende Gleichung lässt sich ebenfalls gut kürzen, nach einiger Rechnung kommt beispielsweise









und weiter folgen dann a1 und a3, ebenfalls = 0

(*)
Wie das lGS lautet, hat mein Vorposter im Prinzip ja schon beschrieben ...








mY+
 
 
Susanne34 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wie das Gleichungssystem sich aufbaut habe ich jetzt verstanden. Nur nun habe ich das nächste Problem und zwar komme ich nicht mit der Auflösung zurecht. Ich komme nicht auf die Schritte die du mir angegeben hast. Könntest du mir villeicht ein paar Lösungszeilen zeigen? Also wie überhaupt der Anfang dazu ist. Dann würde ich es mit a_1 und a_3 beispielsweise besser verstehen. Das wäre wirklich sehr nett.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, jetzt ist es mir schon zu spät, am Vormittag werde ich nochmals darauf zurückkommen.

Hinweis: Mach' es ebenso, wie ich es dir bei der Determinante geschrieben habe ...
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