Vollständige Induktion

22.10.2012, 11:37

Endoflex

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Vollständige Induktion

Hallo erstmal,
wir haben die Aufgabe bekommen die Ungleichung $\begin{eqnarray*} n^{(n+1)} > \left(n+1\right)^n \end{eqnarray*}$ für n $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 3 mit der vollst. Induktion zu beweisen.

Ich bin bis zu dieser Umformung $\begin{eqnarray*} \left(n+1\right)^{n} * \left(n+1\right)^{2} > \left(n+2\right)^{n} * \left(n+2\right) \end{eqnarray*}$ gekommen.

Jetzt komm ich aber nicht weiter...
Hätte ich schon am Anfang die Gleichung umstellen sollen in: $\begin{eqnarray*} n > \left(1+\frac{1}{n} \right)^{n} \end{eqnarray*}$ ?

Ich hab echt keine Idee. Könnte mir jemand helfen?

Danke im voraus smile

smile

22.10.2012, 13:03

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Original von Endoflex
Ich bin bis zu dieser Umformung $\begin{eqnarray*} \left(n+1\right)^{n} * \left(n+1\right)^{2} > \left(n+2\right)^{n} * \left(n+2\right) \end{eqnarray*}$ gekommen.

Wenn man das mal durch $\begin{eqnarray*} \left(n+2\right)^n \end{eqnarray*}$ dividiert, dann hat man auf der linken Seite den Term:

$\begin{eqnarray*} (\frac{n+1}{n+2})^{n} \cdot (n+1)^{2} \end{eqnarray*}$

bzw. $\begin{eqnarray*} (1 - \frac{1}{n+2})^{n} \cdot (n+1)^{2} \end{eqnarray*}$

Nun noch auf $\begin{eqnarray*} (1 - \frac{1}{n+2})^{n} \end{eqnarray*}$ die Bernoullische Ungleichung anwenden und dann ist man in wenigen Schritten da. smile

smile

22.10.2012, 13:32

HAL 9000

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Wobei zu erwähnen ist, dass man auf diese Weise auf die Induktion getrost verzichten kann. Allerdings steckt die Induktion natürlich irgendwie implizit im Beweis von Bernoulli drin. Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.10.2012, 14:04

Endoflex

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Erstmal danke dafür smile

smile

Es ist bloß das erste Mal, dass wir eine Ungleichung (überhaupt etwas) mit Induktion beweisen müssen...

Ersetze ich jetzt die $\begin{eqnarray*} \left(n+1\right)^{2} \end{eqnarray*}$ ?

22.10.2012, 14:17

klarsoweit

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Erstmal die Bernoullische Ungleichung anwenden.

Danach kannst du (n+1)² umformen in n*(n+2) + 1 .

22.10.2012, 14:29

Endoflex

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Nachdem ich die angewendet hab sieht es so aus:
$\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{n+2} \right)^{n} \geq 1-\frac{n}{n+2} \end{eqnarray*}$

muss ich nun die (n+1)² links und die n+2 rechts noch einfügen ?

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22.10.2012, 14:34

klarsoweit

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Zitat:

Original von Endoflex
muss ich nun die (n+1)² links und die n+2 rechts noch einfügen ?

Immer schön langsam. Die rechte Seite kannst du noch zusammenfassen in $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n+2} \end{eqnarray*}$ . Dann kannst du beide Seiten mit (n+1)² multiplizieren.

22.10.2012, 16:33

Endoflex

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Ok, also zusammengefasst hatte ich schon, bloß noch nicht hingeschrieben Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber warum muss ich jetzt beide seiten mit (n+1)² multiplizieren?
eigentlich ist doch nach dem ausgang, dass ich links (n+1)² multiplizieren muss, und desweiteren, was mach ich mit der n+2 von der rechten seite? einfach addieren oder fällt die weg?

22.10.2012, 23:38

Endoflex

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also die frage von vorhin erstmal nach hinten verlagert,

ich habe das jetzt soweit umgeformt

$\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{n+2} \right)^n * \left(n+1\right)^2<br /> \geq 2n+\frac{2}{n+2} \end{eqnarray*}$

23.10.2012, 09:06

klarsoweit

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OK. Offensichtlich gilt somit:

$\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{n+2} \right)^n \cdot \left(n+1\right)^2 \geq 2n+\frac{2}{n+2} > 2n \geq n+2 \end{eqnarray*}$

(Letzteres für n >= 2 .)

Somit haben wir: $\begin{eqnarray*} (\frac{n+1}{n+2})^n \cdot \left(n+1\right)^2 = \left(1-\frac{1}{n+2} \right)^n \cdot \left(n+1\right)^2 > n+2 \end{eqnarray*}$

Wenn du das noch mit $\begin{eqnarray*} (n+2)^n \end{eqnarray*}$ multiplizierst, bist du am Ziel. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.10.2012, 10:02

HAL 9000

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Was wir hier gesehen haben, war ein direkter Beweis (d.h. ohne Induktion) unter Zuhilfenahme der Bernoullischen Ungleichung. Wenn man alles etwas umarrangiert, kann man das auch zu einem "echten" Induktionsbeweis machen, der im Gegenzug ohne Anwendung der Bernoulli-Ungleichung auskommt:

Im Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} n\to n+1 \end{eqnarray*}$ multiplizieren wir dazu die Induktionsvoraussetzung mit der linken Seite der Induktionsbehauptung, und schätzen dann weiter ab

$\begin{eqnarray*} (n+1)^{n+2}\cdot n^{n+1} > (n+1)^{n+2}\cdot (n+1)^n = (n^2+2n+1)^{n+1} > (n^2+2n)^{n+1} = (n+2)^{n+1} \cdot n^{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Inhaltlich dasselbe wie oben, an der entscheidenden Stelle wird auch dieselbe Abschätzung $\begin{eqnarray*} (n+1)^2 = n^2+2n+1 > n(n+2) \end{eqnarray*}$ genutzt.

23.10.2012, 11:11

Mystic

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RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Original von Endoflex
Hallo erstmal,
wir haben die Aufgabe bekommen die Ungleichung $\begin{eqnarray*} n^{(n+1)} > \left(n+1\right)^n \end{eqnarray*}$ für n $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 3 mit der vollst. Induktion zu beweisen.

Ganz ohne Induktion - und sei es in noch so versteckter Form - kommt man aus, wenn man beidseitig die n(n+1)-te Wurzel zieht, was hier ja eine Äquivalenzumformung ist, und auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_{>0} \end{eqnarray*}$ die Funktion exp(ln(x)/ x) betrachtet... Man hätte dann nur zu zeigen, dass sie für $\begin{eqnarray*} x \ge e \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend ist, wobei es offensichtlich genügt, dies für ln(x)/x zu zeigen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.10.2012, 18:40

Endoflex

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Ich weiß gar nicht wie ich mich bei euch bedanken soll.
Hab auch alles super verstanden.

Danke vielmals!

Eine Frage noch: Unsere Aufgabenstellung war es die Ungleichung mit vollst. Induktion zu beweisen.

Zählt sie jetzt mit dem Umweg über die Bernoullische Ungleichung oder doch nicht?
Eigentlich fang ich ja mit Induktion an und arbeite mich dann über eine andere ungleichung wieder auf die Induktionsbehauptung...

23.10.2012, 18:45

HAL 9000

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Du kannst jeden Beweis einer Aussage über natürliche Zahlen irgendwie als Vollständige Induktion verkaufen:

Nur erscheint es eben ein wenig an den Haaren herbeigezogen, wenn im Induktionsschritt die Induktionsvoraussetzung gar nicht benötigt wird. Big Laugh

Big Laugh

23.10.2012, 18:48

Endoflex

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Stimmt, eigentlich hast du recht. Dann wäre ja die komplette Induktion unsinnig.

23.10.2012, 18:51

HAL 9000

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Aber nicht falsch. Nur kann man sich eben von diesem Rahmen dann auch ganz befreien.

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