Existenz uneigentliches Integral

22.10.2012, 12:45

mrdo87

Existenz uneigentliches Integral

Hallo,

ich soll untersuchen, ob folgendes uneigentliches Intergal existiert:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty} ^\infty \! e^{-x^2} \, dx \end{eqnarray*}$

Zunächst habe ich versucht, das Integral einfach mal zu lösen. Hierfür ist mir jedoch kein passender Weg eingefallen. Dann habe ich folgenden Weg eingeschlagen:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty} ^\infty \! e^{-x^2} \, dx =2\int_0 ^\infty \! e^{-x^2} \, dx =2\left[{\int_0 ^1 \! \frac{1}{e^{x^2}} \, dx + \int_{1} ^\infty \! \frac{1}{e^{x^2}} \, dx }\right] \end{eqnarray*}$

Das Integral im Intervall [0;1] existiert auf jeden Fall, hier ist ja keine Grenze kritisch.
Das hintere Intergal habe ich dann mit der Bedingung
$\begin{eqnarray*} x\geq1 \end{eqnarray*}$ abgeschätzt zu:

$\begin{eqnarray*} \int_{1} ^\infty \! \frac{1}{e^{x^2}} \, dx \leq \int_{1} ^\infty \! \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$

Dass dieses Integral exisiert, haben wir bereits in der Vorlesung gezeigt. Also muss auch das ursprüngliche Integral existieren.
Funktioniert das so und reicht meine Argumentation hierfür aus??

22.10.2012, 12:59

Nubler

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RE: Existenz uneigentliches Integral
wegen den ausrechnen, betrachte mal:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty} ^\infty \! e^{-x^2} \, dx \int_{-\infty} ^\infty \! e^{-y^2} \, dy \end{eqnarray*}$

und überleg dir, wie man des integral anders darstellen kann

22.10.2012, 13:48

RavenOnJ

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RE: Existenz uneigentliches Integral

Zitat:

Original von Nubler
wegen den ausrechnen, betrachte mal:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty} ^\infty \! e^{-x^2} \, dx \int_{-\infty} ^\infty \! e^{-y^2} \, dy \end{eqnarray*}$

und überleg dir, wie man des integral anders darstellen kann

Stichwort: Koordinatentransformation. Welche Trafo da günstig ist, kann man ziemlich schnell erkennen.

Gruß
Peter

22.10.2012, 14:03

Mulder

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RE: Existenz uneigentliches Integral
Was das Ausrechnen betrifft: Könnte ja sein, dass ihm die Werkzeuge dafür gar nicht zur Verfügung stehen. Halte ich für nicht unwahrscheinlich, sonst würde die Aufgabe wohl lauten "Berechnen Sie das Integral". Die Aufgabe scheint mir aufs Abschätzen ausgelegt zu sein.

Zitat:

Original von mrdo87
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty} ^\infty \! e^{-x^2} \, dx =2\int_0 ^\infty \! e^{-x^2} \, dx =2\left[{\int_0 ^1 \! \frac{1}{e^{x^2}} \, dx + \int_{1} ^\infty \! \frac{1}{e^{x^2}} \, dx }\right] \end{eqnarray*}$

Kann man so machen.

Zitat:

Original von mrdo87
Das hintere Intergal habe ich dann mit der Bedingung
$\begin{eqnarray*} x\geq1 \end{eqnarray*}$ abgeschätzt zu:

$\begin{eqnarray*} \int_{1} ^\infty \! \frac{1}{e^{x^2}} \, dx \leq \int_{1} ^\infty \! \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$

Naja, wenn du $\begin{eqnarray*} x^2 \leq \exp(x^2) \end{eqnarray*}$ wirklich benutzen kannst, dann geht das natürlich.

Ich hätte ja eher zum Beispiel $\begin{eqnarray*} e^{-x^2} \leq 2xe^{-x^2} \end{eqnarray*}$ genommen, das ist für $\begin{eqnarray*} x \geq 1 \end{eqnarray*}$ offensichtlicher und das Integral kann man auch elementar berechnen und die Abschätzung steht.

Aber bei solchen Abschätzungen hat man eigentlich immer mehrere Möglichkeiten. Augenzwinkern

22.10.2012, 14:10

RavenOnJ

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Hast recht, es geht ja nur um den Existenzbeweis. Da reicht natürlich eine Abschätzung durch ein majorisierendes Integral.

Gruß
Peter

23.10.2012, 14:46

mrdo87

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RE: Existenz uneigentliches Integral
Zum Ausrechnen des Integrals: Hier helfen mir eure Tips bis jetzt leider nicht auf die Sprünge. Aber wie ja schon Mulder angesprochen, ist das für die Aufgabe ja nicht zwangsläufig nötig. Das nötige Werkzeug zum Berechnen bekomme ich wahrscheinlich später...
Also bleibe ich erstmal bei der Abschätzung:

Zitat:

Original von Mulder

Naja, wenn du $\begin{eqnarray*} x^2 \leq \exp(x^2) \end{eqnarray*}$ wirklich benutzen kannst, dann geht das natürlich.

Ob ich das wirklich benutzen kann, weiß ich leider auch nicht. Sieht für mich auch recht offentsichtlich aus. Aber deine Abschätzung $\begin{eqnarray*} e^{-x^2} \leq 2xe^{-x^2} \end{eqnarray*}$ macht natürlich mindestens genausoviel Sinn.

Vielen Dank für eure Hilfe!

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