Verteilungsdichte/-funktion

06.02.2007, 15:15	Mr.Pink	Auf diesen Beitrag antworten »
Verteilungsdichte/-funktion hallo liebe leute, hab hier ein problem mit einer aufgabe und hoffe, dass ihr mir weiterhelfen könnt. "Ein Körper der Masse m bewegt sich längs einer Geraden mit einer zufälligen Geschwindigkeit X, welche im Intervall [0; V ], V > 0, gleichverteilt ist. Die kinetische Energie des Körpers beträgt Y = (m/2)*X² (a) Bestimmen Sie die Verteilungsdichte sowie die Verteilungsfunktion von Y . (b) Berechnen Sie die mittlere kinetische Energie des Körpers." irgendwie finde ich keinen ansatz für a). muss ich die gleichung nach X umstellen, um die dichtefunktion von Y zu bekommen? also: X(Y)=wurzel[2Y/m]. oder ist die gegebene fkt. bereits meine dichtefkt. und ich muss nur noch in den grenzen [0,V] integrieren und dann hab ich meine verteilungsfunktion? gruß mr.pink
06.02.2007, 15:36	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu (a): Einfach mal losrechnen! Durch die Einschränkungen von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ gilt zunächst mal $\begin{eqnarray} 0\leq Y\leq \frac{m}{2}V^2 \end{eqnarray}$ , entsprechend folgt $\begin{eqnarray} F_Y(y) = P(Y \leq y) = P\left( \frac{m}{2}X^2 \leq y\right) = P\left( X \leq \sqrt{\frac{2y}{m}}\right) = F_X\left(\sqrt{\frac{2y}{m}} \right) = \frac{1}{V} \cdot \sqrt{\frac{2y}{m}} = \sqrt{\frac{2y}{mV^2}} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} 0\leq y\leq\frac{m}{2}V^2 \end{eqnarray}$ . Die Dichtefunktion ist dann einfach die Ableitung nach $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} f_Y(y)=F_Y'(y) \end{eqnarray}$ . Zu (b): Den Erwartungswert von $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ könntest du dann wie üblich gemäß $\begin{eqnarray} E(Y) = \int ~ y\cdot f_Y(y) ~ \dd y \end{eqnarray}$ berechnen. Würde ich hier aber nicht empfehlen, besser ist hier der direkte Weg gemäß $\begin{eqnarray} E(g(X)) = \int ~ g(x)\cdot f_X(x) ~ \dd x \end{eqnarray}$ , konkret hier $\begin{eqnarray} E(Y) = E\left( \frac{m}{2} X^2 \right) = \int\limits_0^V ~ \frac{m}{2} x^2\cdot \frac{1}{V} ~ \dd x \end{eqnarray}$ .
06.02.2007, 18:04	Mr.Pink	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo arthur dent, erstmal vielen dank für deine fixe antwort. ich kann auch alles nachvollziehen bis auf eine stelle: $\begin{eqnarray} FX(\sqrt{\frac{2y}{m}} ) = \frac{1}{V}\cdot\sqrt{\frac{2y}{m}} \end{eqnarray}$ kannst du diese stelle bitte einmal kurz erläutern? ich möchte eigentlich nur wissen, wie die $\begin{eqnarray} \frac{1}{V} \end{eqnarray}$ zu stande kommen.
06.02.2007, 19:04	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichverteilung heißt: Division durch das (euklidische) Maß des Bereichs, hier die Länge des Intervalls $\begin{eqnarray} [0,V] \end{eqnarray}$ .

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