Boolsche Algebra - De Morgan Beweis

06.02.2007, 15:38	Markus83Muc	Auf diesen Beitrag antworten »
Boolsche Algebra - De Morgan Beweis Hallo, hab hier schon im Forum gesucht bin aber leider nicht fündig geworden. Ich versuche gerade die beiden Gesetzte von De Morgan in der Boolschen Algebra zu beweisen nur mit Hilfe der Axiome der Boolschen Algebra. Ich denke wenn ich das eine bewiesen habe verläuft der Beweis für das andere Analog. $\begin{eqnarray} - (a\otimes b) = - a\oplus- b \end{eqnarray}$ Ich habe schon einen Beweis über die Verknüpfungstafeln gemacht, denke aber nicht das dies ausreichend ist. $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} \otimes & a & b \\ a & a & a \\ b & a & b \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} \oplus & a & b \\ a & a & b \\ b & b & b \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Auf grund des Eindeutigen Komplements: $\begin{eqnarray} b= - a \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} a= - b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} - \begin{vmatrix} \otimes & a & b \\ a & b & b \\ b & b & a \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} \oplus & -a & -b \\ -a & b & b \\ -b & b & a \end{vmatrix} \end{eqnarray}$
07.02.2007, 06:29	ArminTempsarian	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Boolsche Algebra - De Morgan Beweis Na ja, alleine aus den Axiomen ist schwierig. Idempotenz und so Sachen sollten erlaubt sein. Eindeutigkeit ist schonmal gut. Dann gilt: $\begin{eqnarray} (a\oplus b)\oplus (-a\otimes -b)=(a\oplus b\oplus -a)\otimes (a\oplus b\oplus -b)=0\otimes 0 =0 \end{eqnarray}$ (Distributivg, Ass, Komm, dann die Nullen mit Idempotenzgesetz erzeugen), d.h. die erste Bedingung für ein Komplement ist erfüllt. Bei der zweiten Bedingung ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} (a\oplus b)\otimes (-a\otimes -b)=1 \end{eqnarray}$ Daraus folgt dann wegen der Eindeutigkeit des Komplements die erste De Morgansche Regel. Die zweite analog. Gruß Armin

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